第三节矩阵相似对角化 一定义 三相似对角化 二性质 四应用举例 一 定义 定义 设 都是 阶矩阵 若有可逆矩阵 使得 则称 是 的相似矩阵 或者说矩阵 与 相似 称为对 进行相似变换 对 进行运算 可逆矩阵 称为把 变成 的相似变换矩阵 记作 二 性质 1 反身性 2 对称性 3 传递性 则 则 4 则 5 则 6 且 可逆 则 定理 若 阶矩阵 与 相似 则 与 有相同的特征多项式 从而 与 有相同的特征值 推论 若 阶矩阵 与对角矩阵 相似 则 若有可逆矩阵 使 8 则 的多项式 特别 这样可以方便地计算 的多项式 7 则 若能寻得相似变换矩阵 使 对 阶方阵 称之为把方阵 对角化 三 相似对角化 定理的推论说明 如果 阶矩阵 与对角矩阵 相 似 则 的主对角线上的元素就是 的全部特征值 设存在 可逆 使得 有 于是有 因为 可逆 故 关的特征向量 反之 即 设 可逆 且 则 若 有 个线性无关的特征向量 所以 即 与对角矩阵 相似 定理 阶矩阵 能与对角矩阵 相似 有 阶线性无关的特征向量 推论 如果 阶矩阵 有 个不同的特征值 则矩阵 注意 的顺序一致 1 可相似对角化 2 因此 也是不唯一的 3 所以如果不计 的排列顺序 推论 若 阶矩阵 可相似对角化 的任重特征值 对应个线性无关的特征向量
