1、第六章 解线性方程组的迭代法 直接法 经过有限次运算后可求得方程组精确解的方法 不计舍入误差 迭代法 从解的某个近似值出发 通过构造一个无穷序列去逼近精确解的方法 一般有限步内得不到精确解 直接法比较适用于中小型方程组 对高阶方程组 既使系数矩阵是稀疏的 但在运算中很难保持稀疏性 因而有存储量大 程序复杂等不足 迭代法则能保持矩阵的稀疏性 具有计算简单 编制程序容易的优点 并在许多情况下收敛较快 故能有效地解一些高阶方程组 1 引言 迭代法的基本思想是构造一串收敛到解的序列 即建立一种从已有近似解计算新的近似解的规则 由不同的计算规则得到不同的迭代法 本章介绍单步定常线性迭代法 引入误差向量
2、则可得 由 问题是在什么条件下 所以 等价于 也即 2 基本迭代法 设有 其中A为非奇异矩阵 将A分解成 其中M是可选择的非奇异矩阵 且使Mx d容易求解 由此 原问题就可转化为等价方程 得 可构造迭代法 Jacobi迭代法 Jacobid迭代的矩阵形式 收敛与解 故如果序列收敛 则收敛到解 B称迭代矩阵 高斯 塞德尔 Gauss Seidel 迭代法 用矩阵可表示为 移项得 又 所以 可逆 也即选取M为A的下三角部分 即M D L N 则 x b可等价为 M N x b 联系上面已经得到的矩阵迭代形式 为统一起见 记 A D L U 等价为 其中 或 其中 即为G S迭代法的迭代矩阵 Gau
3、ss Seidel迭代法的计算过程如下 松弛 SOR 法 SOR迭代法也可以看作是G S迭代法的一种修正 假设已知 及 首先利用G S迭代计算预测值 加权平均可得 即得 再由 和 的前i 1个分量 返回 松弛法计算过程如下 引入误差向量 则可得 由等价于 问题是在什么条件下 所以 等价于 也即 3 迭代法的收敛性 作 注 其中为矩阵的任一种算子范数 p244定理1 注 迭代法基本定理 矩阵的谱半径 定理2 由此得P248的定理5 迭代法收敛的充分条件 定理5设有方程组和其定常迭代法 如果B的某种算子范数 则 1 迭代法收敛 即对任取的有 证明 P252定理8 特殊方程组迭代法的收敛性P249
4、定理6 对角占优定理P250 如果矩阵A为严格对角占矩阵或为不可约弱对角占优矩阵 则A为非奇异矩阵 P251定理7 9 10 例 同时G S迭代法也收敛 如1 条件的矩阵 证明 特别 误差估计 证明 2 3 1 返回 注 返回 证明 只证关于简单迭代法的两个 其余两个的证明类似 1 设A具有严格对角优势 以下证 BJ 1 反证法 设BJ有特征值 1 3 20 所以 D L U也具有严格对角优势 所以 D L U 0 所以 1不可能成立 所以 1 即 BJ 1 3 21 与矛盾 2 A不可约且具有对角优势 证 BJ 1 由定理有A非奇异 又 否则A必有一行元素全为零 与A非奇矛盾 用反证法 设BJ有特征值 1 同 1 有 3 20 3 21 注意 D L U中非零元素的位置与A中非零元素的位置完全相同 而A不可约 所以必有 D L U不可约 返回 所以 D L U有对角线优势 所以 D L U 0 与 3 20 矛盾 1不可能成立 所以 1 即 BJ 1
