1、第六章 线性空间一、内容提要§6.1 线性空间与简单性质1 定义设 是一个非空集合， 是一个数域。在 上定义了一种加法运算“+” ，即对 中VKVV任意的两个元素 与 ，总存在 中唯一的元素 与之对应，记为 ；在数域和 的元素之间定义了一种运算，称为数乘，即对 中的任意数 与 中任意一个元KKk素 ，在 中存在唯一的一个元素 与它们对应，记为 。如果上述加法和数乘满足下列运算规则，则称 是数域 上的一个线性空间。 （1） 加法交换律： ；（2） 加法结合律： ；（3） 在 中存在一个元素 ，对于 中的任一元素 ，都有 ；V0V0（4） 对于 中的任一元素 ，存在元素 ，使 ；（5）
2、= ；1（6） ， ；kk)(K（7） ；ll,（8） ，k其中 是 中的任意元素 ， 是数域 中任意数。 中适合（3）的元素 称为零,Vl, V0元素；适合（4）的元素 称为 的负元素，记为 。2 简单性质。性质 1 零向量是唯一的。性质 2 负向量是唯一的。性质 3 对 中任意向量 ，有V,（1） 加法消去律：从 可推出 ；（2） ，这里左边的 0 表示数零，右边的 表示零向量；0 0（3） ；k（4） ；)1(（5） 如果 ，则有 或 。0kk0§6.2 基与维数1定义（1）基与维数设 是数域 上的一个线性空间，如果 中的 个向量 满足VKVnn,21（1） 线性无关；n,2（
3、2） 中的任意向量都可由 线性表示，n,21则称 为线性空间 的一组基， 称为 的维数，记为 ，并称 为n,1 VVnVdim数域 上的 维线性空间。K（2）坐标 设 是 n 维线性空间 的一组基，则对 中的任意向量 ，存在唯一数组,1 ，使得nx,2，nxx21我们称 为向量 在基 下的坐标，记作 。nx,21 n,2 Tnx,21（3）同构设 都是数域 上的线性空间，如果存在一个从 到 的一一对应 ：UV,KVU，使得对任意的向量 以及数 ，均有V,Kk，k,则称线性空间 与 同构，记为 。VU2推论（1） 维线性空间中的任意 个向量必线性相关。n1n（2） 维线性空间 中的任意 个线性无
4、关的向量组成 的一组基。V3定理（1）数域 上任一 n 维线性空间都与 同构。KnK（2）数域 上两个有限维线性空间同构的充分必要条件是它们有相同的维数。§6.3 基变换和坐标变换1过渡矩阵设 和 是数域 上 维线性空间 的两组基，它们之间的关n,21 n,21 KnV系为， nnn naa 21221211我们称表示矩阵 nnnaaA 212112为由基 到基 的过渡矩阵。n,21 n,212坐标变换公式设 在基 和 下的坐标分别为Vn,21 n,21 Tnx,21，则有Tny,21= 。nx21nyP21§6.4 线性子空间1定义（1）子空间设 是数域 上的线性空间，
5、是 的一个非空子集。如果对于 上的加法和数乘VKWVV运算， 也构成数域 上的线性空间，则称 为 的一个线性子空间（简称子空间） 。W（2）生成的子空间设 是线性空间 的子集，记 为这组向量所有可能的线性组合构成的子集，不SVSL难看出这个子集关于向量的加法和数乘运算封闭，因此它是 的一个子空间，称之为由V生成的子空间。2子空间封闭性 如果线性空间 的非空子集 关于 的两种运算封闭，则 就成为 的一个子空间。VWVW3有关生成子空间的性质（1） 设 和 是线性空间 的两组向量组，则 当且仅当 可由1S2 1SL21S线性表示.2S（2） 当且仅当向量组 和 等价。1L21S2（3）设 是线性空
6、间 的子集， 为由 生成的子空间，则VLa） 是 中包含 的最小子空间，即若 是包含子集 的子空间，则SWS。WLb） 的极大无关组是子空间 的一组基， 。SLrL)(dim4子空间的交与和（1） 个子空间的交：s siVV121也是 的子空间。V（2） 个子空间的和：s ,21,|2121 siiss 也是 的子空间。5直和的定义设 是线性空间 的子空间，如果和 中的每个分解式sV,21 sV21),(,21 iis 是唯一的，这个和就称为直和，记为 。sV216直和的判定定理设 是线性空间 的子空间，则下列命题等价:sV,21（1） 是直和；s（2）零向量的表示唯一；（3） ；11 0si
7、ii V（4） 。ss VVdimdim)dm( 22 7维数公式设 ，则 。21 2121iiiiV二、训练题一、选择题1. 设 是向量空间 V 的一组基，且 = + , = + , = + ,321,1223132. (a)V L( ); (b)V L( );321,3. (c)V=L( ); (d)V=L( ).321,二、填空题1. 设 , , , 是向量空间 V 中的线性无关向量组，且 =2 - + , = - ,1 2 3 4 1 2 4 1 4= +2 -2 , =3 +2 则 L( , , , )的维数=_.3 1 3 1 2 3 4三、计算、证明题1. 设 0)2(,)(|4
8、fxRfxW（1） 证明： 是 的子空间；4（2） 求 的维数与一组基。 2. 设 , 。证明： 10253A 0,|4AxRWa) 是 的一个子空间。 W4Rb) 求 的维数与一组基。 3. 设 V1, V2, V3 V 是有限维子空间，证明： dimV1 + dimV2 + dimV3 = dim(V1 + V2 + V3) + dim(V3 (V1 + V2) + dim(V1 + V2)。4. 设 是数域 上次数小于 的多项式全体构成的线性空间，nxKn是),(ia数域 上 个互不相同的数，记n， ，)()()(21naxaxf )/(ii axff证明： 是 的一组基。,2iinK5
9、. 线性空间 的两组基分别为2M； 10,10,0,01432 ；,1, 4321 求由基 到基 的过渡矩阵，并求一个非零矩阵 ，使 在这两4321,432, A组基下的坐标相同。6. 在次数小于 的多项式全体构成的线性空间 中，求从基nnxK到基 的过渡矩阵。121,nx 12, nnaa7. 设 是 维实线性空间 的一组基， 是 阶实矩阵，向量n,21 VPs组 由s,21 s,21 n,21所定义。证明：子空间 的维数等于矩阵 的秩。sL P8. 设 是线性空间 的 个非平凡子空间，证明：在 中必存在一个向mV,21 V量不属于任何一个 。i9. 在全体 阶方阵组成的线性空间 上，考虑 ，n)(KnM|)(1AKMAVTn证明： = 。,|)(2 AKAVT 2
