1、 1第 3讲 导数的应用（2 ）【考点导读】能熟练利用导数研究函数的单调性；会求某些简单函数的单调区间。掌握导数与不等式的关系考点 利用导数解决不等式问题【例 1】设 a 为实数，函数 f(x)e x2x 2a，xR.(1)求 f(x)的单调区间与极值；(2)求证：当 aln 21 且 x0 时，e xx 22ax1.审题视点 第 (2)问构造函数 h(x)e xx 22ax 1，利用函数的单调性解决(1)解 由 f(x)e x2x2a，xR 知 f(x )e x2 ，xR.令 f( x)0，得 xln 2，于是当 x 变化时，f(x)，f (x)的变化情况如下表.x ( ，ln 2) ln
2、2 (ln 2，)f (x) 0 f(x) 单调递减 2(1ln 2a) 单调递增故 f(x)的单调递减区间是(，ln 2，单调递增区间是ln 2，) ，f(x)在 xln 2 处取得极小值，极小值为 f(ln 2)e ln 22ln 22a2(1ln 2a)(2)证明 设 g(x)e xx 22ax1，x R，于是 g(x) e x2x 2a，xR.由(1)知当 a ln 21 时， g(x )的最小值为g(ln 2) 2(1ln 2a) 0.于是对任意 xR，都有 g(x )0，所以 g(x)在 R 内单调递增于是当 aln 21 时，对任意 x(0，) ，都有 g(x)g(0)而 g(0
3、)0，从而对任意 x(0，)，g(x)0.即 exx 22ax10，故 exx 22ax1.【例 2】 已知 mR，函数 f(x)(x 2mxm)e x(1)若函数没有零点，求实数 m 的取值范围；(2)当 m0 时，求证 f(x)x 2x 3.(1)解 由已知条件 f(x)0 无解，即 x2mxm0 无实根，则 m 24m0，解得 0m4，实数 m 的取值范围是(0,4)2(2)证明 当 m0 时，f(x)x 2ex设 g(x)e xx 1，g(x)e x1，g(x)，g(x) 随 x 变化情况如下：x (，0) 0 (0，)g(x) 0 g(x) 0 由此可知对于 xR，g(x)g(0)即 exx10，因此 x2(exx1)0，整理得x2exx 3x 2，即 f(x)x 3 x2. 利用导数证明不等式要考虑构造新的函数，利用新函数的单调性或最值解决不等式的证明问题比如要证明对xa，b 都有 f(x)g(x)，可设 h(x)f(x)g(x)只要利用导数说明 h(x)在a，b 上的最小值为 0 即可
