1、第7章 拱的面内稳定,任课教师：强士中卫 星,第7章 拱的面内稳定,基本概念 拱的面内屈曲 拱的计算长度 压弯拱的稳定计算 拱的极限承载力,7.1 基本概念,拱面内稳定理论 1884年，Levy 推导出均匀受压圆环屈曲临界荷载； 1908年，Hurlbrink 推导出均匀受压两铰圆弧拱临界荷载； 1910年，Timoshenko 得到均匀受压两铰圆弧拱一致的结果； 奠定了拱的平面屈曲理论基础 1918年，Nicolai 得到均匀受压无铰圆弧拱临界荷载； 1929年，Dinnik 讨论了变截面圆弧拱稳定问题； 1935年， Timoshenko 讨论均布竖向荷载两铰扁圆拱“跳跃”问题； 1934
2、1940年，欧洲学者相继讨论竖向均布荷载抛物线拱的面内屈曲问题； 标志者拱的面内屈曲理论逐步走向实际应用,1948年， Chatterjee 首先建立了拱结构极限承载力分析的挠度理论； 随着计算机的日益发展和广泛应用，非线性有限元分析方法不断发展，综合考虑结构几何和材料非线性的分析方法，逐渐运用到拱结构极限承载力的计算中，取得了与试验值较吻合的结果。 拱的稳定研究已从压屈理论进入了压溃理论,拱的面内稳定形式反对称失稳或对称失稳；分支点失稳和极指值点失稳；线弹性稳定和弹塑性稳定；大挠度和小挠度问题。拱的两类稳定问题第一类稳定问题：理想弹性纯压拱，分支点失稳，特征值问题。第二类稳定问题：实际中的拱
3、，极值点失稳，非线性分析方法。,无铰拱,两铰拱,三铰拱,f / l0.2,f / l0.2,7.2 拱的面内屈曲,7.2.1 圆拱的屈曲如图所示圆弧拱 ，微段ds在径向荷载pr 切向分布荷载ps及内力M、N、Q作用，处于平衡状态。,平衡方程(1)(2)几何关系 转角： 曲率：(3),拱轴单位伸长： (4) 拱轴无压缩， ，所以： (5) 内力与变形关系(6)将式(6)代入式(2)，得:(7),由式(7)，可得：整理得： (8)径向均布荷载作用下圆弧拱的屈曲临界力可通过式(8)确定 比较压弯杆 ，所以：(9) 将式(9)代入式(8)，得：即： (10),两铰圆拱 径向位移： 式中， 代入式(10
4、)，得：可简化为：即： 所以： (11) 由边界条件，有：所以： ，即： 由式(11)，可得： (12),更实用的方法 由式(6)，可得：(13) 所以： (14) 变为： 可写为： 式中， (15) 解之得： 由边界条件： 可得： 所以： 代入式(15)，得：即：,临界轴力： (16) 式中， K1为临界荷载系数（稳定系数） 参照中心受压杆临界力公式，式(16)，可写为：(17) 式中：(18) s0为拱的计算长度 或： 式中： (19) 为拱度影响系数,无铰拱 拱任意截面上增添了弯矩：拱截面上总弯矩为：(20) 将式(20)代入式(13)，得：(21) 式中： ， 解之得： (22) 边界
5、条件： ， ； ， ；,所以：即： (23)系数行列式为零，可得稳定方程式 ：(24) 由上式可求得无铰拱临界荷载： (25) 稳定系数K2与拱的开角有关。,三铰拱 三铰拱对称屈曲临界荷载： (26),7.2.2 抛物线拱的屈曲竖向均布荷载作用的抛物线拱仅受轴向力作用；抛物线拱的曲率、轴向力沿拱轴变化；抛物线拱的临界荷载一般通过数值法计算。抛物线拱的临界荷载可按下式计算：,7.3 拱的计算长度,参照中心压杆临界荷载计算公式，拱的临界压力可写为：(27)式中， ，S0为拱的计算长度， S为拱轴线长度之半； 为拱的计算长度系数。 一般规律： (1) 拱的计算长度系数主要取决于拱的类型及矢跨比； (
6、2) 拱的计算长度系数与相同边界条件直杆的计算长度系数相接近。,我国公路桥规规定：f/l0.3以下的拱，无铰拱计算长度0.7×0.5S0.35S，可偏安全地取0.36S；同理，两铰拱取0.54S；三铰拱取0.58S，S为拱轴线长度。 我国铁路桥规中，对于长细比不大，f/l在0.30.4以下的拱，其计算长度，与公路桥规一致。 对于矢跨比小于0.4，长细比不大的拱，美国AASHTO规范按不同的矢跨比给出了拱的计算长度 。式中lu取拱肋长度的一半；K为按下表采用。,7.4 压弯拱的稳定计算,7.4.1 拱的挠度理论 基本假定： 平截面假定；弹性中心位置不变。 平衡方程：(28)可参看 贺栓
7、海拱桥挠度理论,7.4.2 弯矩增大系数法 无铰拱：一端固结一端铰支的压弯杆 两铰拱：两端铰支的压弯杆 三铰拱：两端铰支的压弯杆(1) 两铰拱和三铰拱 四分点弯矩：(29),(2)无铰拱 任意截面弯矩：固端(拱脚)弯矩：(30) 跨中(四分点)弯矩：(31) 3l/8(3l/16)弯矩：(32),7.4.3 拱桥的屈曲 刚性拱柔性梁：柔性拱刚性梁：扁拱： 两铰拱 三铰拱,7.5 拱的极限承载力,随着计算机和试验技术的发展，非线性稳定理论和非线性稳定分析的数值方法都得到了很大的发展; 在拱桥稳定性有限元分析中，基于经典弹性理论，则是属于第一类稳定分析，基于非线性挠度理论，则属于第二类稳定分析;
8、综合考虑结构几何和材料非线性的分析方法，运用到拱桥结构极限承载力的计算中，取得了与试验值较吻合的结果。,7.5.1 梁单元切线刚度矩阵,根据虚功原理： (33) 单元位移函数： (34)其中：单元应变：(35) 将式(34)代入式(35)，微分得： (36) 式中：,将式(36)代入式(33)，可得： (37) 应力应变关系： (38) 对式(37)微分一次： (39) 设初应力、初应变为零，则： (40) 由式(36)，可得： (41) 所以： (42) 令：其中：令：,式(42)可写成： (43) 其中： (44) 若式(35)单元应变中忽略 对单元切线刚度的影响，则：,7.5.2 折减刚
9、度法,基本假定： 平面假定成立； 忽略剪应力和剪应变影响； 取单元平均刚度作为单元刚度； 单元进入塑性阶段后，有：对于钢筋混凝土拱，假设： 钢筋和混凝土无滑移； 混凝土应力应变曲线为三次抛物线，钢筋为理想弹塑性材料。,条带法 将截面m等分，截面几何中心的应变和曲率：则第j块条带形心的应变为： 由混凝土应力应变曲线得到各条带应力j，及条带上轴力： 计算钢筋应力s1、 s2 由内力平衡条件：,内力误差： 调整原则： 要使N、M同时为零，则：式中：迭代式： 截面折减刚度：,小结,拱是一种主要承受压力的曲杆体系，当荷载达到一定值时，可能发生面内或面外失稳； 无铰拱和两铰拱的弹性屈曲形式是反对称的，三铰拱的弹性屈曲形式受矢跨比影响。 拱的稳定研究已从压屈理论进入压溃理论； 综合考虑结构几何和材料非线性的分析方法，运用到拱桥结构极限承载力的计算中，取得了与试验值较吻合的结果。,
