1、矩阵的特征值与特征向量 第1节矩阵的特征值与特征向量第2节相似矩阵第3节实对称矩阵的对角化 第3节实对称矩阵的对角化 一复数及复数矩阵的运算性质若x y是两个复数 则 证明 二实对称矩阵的特征性质定理 实对称矩阵的特征值全为实数 证明 设A为实对称矩阵 由于方阵在复数下一定有特征值与特征向量 不妨设 为A的任一个特征值 且x 0为对应于 的特征向量 即有Ax x 定理说明对称矩阵的特征根全是实根 由于当特征值 为实数时 齐次线性方程 A E x 0是实系数方程组 由 A E 0知必有实的基础解系 所以对应的特征向量为实特征向量 定理 属于对称矩阵A的不同特征值的特征向量必正交 证明 得 定理
2、设 是实对称矩阵A的任一特征值 则它的几何重数等于它的代数重数 证明 略 定理表明 若 是n阶实对称矩阵A的r重特征值 则对应于特征值 A有r个线性无关的特征向量 从而A有n个线性无关的特征向量 故A可对称化 进一步 若对A的属于同一特征值的特征向量进行施密特正交单位化过程 则还可得到A的n个正交的单位特征向量 将这n个正交的单位特征向量作成矩阵U 则有定理 设A为n阶对称阵 则必有正交阵U 使U 1AU UTAU 其中 是以A的n个特征值为对角元的对角阵 三实对称矩阵的对角化依据上述定理及推论 对称阵A对角化的步骤为 例 令 例 已知A如下 求正交矩阵T 使得T AT为对角矩阵 再求 3的特征向量 得 令 例
