1、第二节直线与圆的位置关系 一 圆周角 其所对弧的度 数的一半 AOB 相等 相等 AOB 90 直径 90 直径 二 圆的切线 垂直 垂直 垂直于 垂直于 相等 CA CB 三 弦切角定理及其推论 一半 相等 相等 ADC 四 圆中的比例线段 相等 相等 等比中项 五 圆内接四边形的性质定理和判定定理 互补 互补 1 如图 已知PA PB是圆O的切线 A B分别为切点 C为圆O上不与A B重合的另一点 若 ACB 120 则 APB 解析 过C作 O的一直径CD 连结AD BD AO BO CAD CBD 90 ACD BCD ACB 120 ADC 180 ACD CAD BDC 180 B
2、CD CBD ADC BDC ADB 60 AOB 120 PA PB为 O的切线 PAO PBO 90 APB AOB 180 APB 60 答案 60 2 已知 如图 PT切 O于点T PA交 O于A B两点且与直径CT交于点D CD 2 AD 3 BD 6 则PB 解析 由AD BD CD TD 得TD 9 又由得PB PB 9 PB 6 2 92 则PB 15 答案 15 3 如图 已知EB是半圆O的直径 A是BE延长线上一点 AC切半圆O于点D BC AC于点C DF EB于点F 若BC 6 AC 8 则DF 解析 设圆的半径为r AD x 连经OD 得OD AC 故即故x r 又由
3、切割线定理AD2 AE AB 即由三角形相似 知则DF 3 答案 3 4 如图 AB是半圆O的直径 点C在半圆上 CD AB于D 且AD 4DB 设 COD 则cos2 解析 AD 4DB OC OD 4 OC OD 即3OC 5OD cos2 2cos2 1 2 答案 5 如图 AD是 O的切线 AC是 O的弦 过C作AD的垂线 垂足为B CB与 O相交于点E AE平分 CAB 且AE 2 则AB AC BC 解析 CAE EAB EAB ACB ACB CAE EAB 又 CB AD ACB CAE EAB 30 又 AE 2 AB BC 3 答案 6 如图 EB EC是 O的两条切线 B
4、 C是切点 A D是 O上两点 如果 E 46 DCF 32 则 A的度数是 解析 连结OB OC AC 根据弦切角定理 可得 BAD BAC CAD 180 E DCF 67 32 99 答案 99 1 圆周角定理及其推论与弦切角定理及其推论多用于推出角的关系 从而证明三角形全等或相似 可求线段或角的大小 2 涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化 关于圆周上的点 常作直径 或半径 或向弦 弧 两端画圆周角或作弦切角 如图所示 O的直径为6 AB为 O的直径 C为圆周上一点 BC 3 过C作圆的切线l 过A作l的垂线AD AD分别与直线l 圆交于D E 则 DAC 线段AE的长为 1 BCF
5、BAC 30 ACD BCF ACD DAC 90 2 可证明Rt ABE Rt BAC 解 由已知 ABC是直角三角形 易知 CAB 30 由于直线l与 O相切 由弦切角定理知 BCF 30 由 DCA ACB BCF 180 知 DCA 60 故在Rt ADC中 DAC 30 法一 连结BE 如图 1 所示 EAB 60 CBA 则Rt ABE Rt BAC 所以AE BC 3 法二 连结EC OC 如图 2 所示 则由弦切角定理知 DCE CAE 30 又 DCA 60 故 ECA 30 又因为 CAB 30 故 ECA CAB 从而EC AO 由OC l AD l 可得OC AE 故四
6、边形AOCE是平行四边形 又因为OA OC 故四边形AOCE是菱形 故AE AO 3 答案 30 3 1 已知C点在圆O直径BE的延长线上 CA切圆O于A点 DC是 ACB的平分线交AE于点F 交AB于点D 则 ADF的度数为 证明四点共圆的方法 利用定理 若一个四边形的对角互补 则四点共圆 如图所示 已知AP是 O的切线 P为切点 AC是 O的割线 与 O交于B C两点 圆心O在 PAC的内部 点M是BC的中点 1 证明A P O M四点共圆 2 求 OAM APM的大小 1 可利用圆内接四边形对角互补来证明A P O M四点共圆 2 利用 1 所得结论即可求得 OAM APM的大小 证明
7、连结OP OM 如图 1 所示 因为AP与 O相切于点P 所以OP AP 因为M是 O的弦BC的中点 所以OM BC 于是 OPA OMA 180 由圆心O在 PAC的内部 可知四边形APOM的对角互补 所以A P O M四点共圆 2 连结OA 如图 2 所示 由 1 得A P O M四点共圆 所以 OAM OPM 由 1 得OP AP 又圆心O在 PAC的内部 可知 OPM APM 90 所以 OAM APM 90 2 如图 AB CD是两条平行弦 BE AC 并交CD于E 过A点的切线交DC的延长线于P PC ED 1 PA 2 则AB AC 解析 连结AD 由切割线定理得 PA2 PC
8、PD PD 4 又PC DE 1 CE 2 AB 2 分别作AH PD于H BM DE于M 连结BD 则 ACD BDC BED 在Rt APH中 AH 在Rt ACH中 AC 答案 2 1 相交弦定理 切割线定理主要是用于与圆有关的比例线段的计算与证明 解决问题时要注意相似三角形知识及圆周角 弦切角 圆的切线等相关知识的综合应用 2 应用相交弦定理 切割线定理要抓住几个关键内容 如线段成比例与相似三角形 圆的切线及其性质 与圆有关的相似三角形等 已知 O1和 O2相交于A B两点 过A点作 O1的切线交 O2于点E 连接EB并延长交 O1于点C 直线CA交 O2于点D 1 如图所示 当点D与
9、点A不重合时 试猜想线段EA ED是否成立 证明你的结论 2 当点D与点A重合时 直线AC与 O2有怎样的位置关系 此时若BC 2 CE 8 求 O1的直径 可作出两圆的公共弦 然后利用弦切角定理 切割线定理解决 解 1 EA ED成立 连结AB 在EA的延长线上取点F 如图 1 所示 AE是 O1的切线 切点为A FAC ABC FAC DAE ABC DAE ABC是 O2内接四边形ABED的外角 ABC D DAE D EA ED 2 当点D与点A重合时 直线CA与 O2只有一个公共点 所以直线CA与 O2相切 如图 2 所示 由弦切角定理知 1 3 2 4 又 1 2 3 4 180
10、90 AC与AE分别为 O1和 O2的直径 由切割线定理知 AC2 CB CE 而CB 2 CE 8 AC2 2 8 16 AC 4 故 O1的直径为4 3 如图所示 割线PAB与圆O相交于A B两点 PC为圆O的切线 圆O的半径为10 D为弧AB的中点 OD交AB于点E 如果PA 4 PC 8 则OE的长度为 解析 由切割线定理可得PC2 PA PB 即64 4PB 解得PB 16 所以AB 16 4 12 因为D为弧AB的中点 所以OE AB 且点E平分线段AB 所以EB 6 圆O的半径为10 所以OE 答案 8 通过近两年高考题的统计分析 可以看出本节主要考查圆周角定理 圆的切线的判定定理与性质定理及圆内接四边形的性质 题型为填空题 难度不大 如2009年广东卷15题就考查了该内容 注意 执果索因 这一分析问题的方法在解题中的应用 2009 广东高考 如图 点A B C是圆O上的点 且AB 4 ACB 45 则圆O的面积等于 解析 点A B C是圆O上的点 圆O是 ABC的外接圆 设圆O的半径为R 则由正弦定理得 2R 解得R 2 圆O的面积为 R2 8 答案 8 本题考查的是直接应用正弦定理求三角形外接圆的半径 较为直接 若将条件作稍微改动 同学们看如何求解 如图 点A B C是圆O上的点 且AC 4 ACB 45 则圆O的面积等于
