1、第六节空间曲线及其方程 一 空间曲线的一般方程 设有两块曲面S1 S2 它们的方程依次为 S1 F x y z 0S2 G x y z 0 S1 S2的交线C上的点一定同时满足这两个方程 而不在交线上的点绝不会同时满足这两个方程 因此 即为交线C的方程 称为空间曲线C的一般方程 1 例1 球面x2 y2 z2 32与平面z 2的交线是一个圆 它的一般方程是 x2 y2 z2 32z 2 解 方程表示球心在原点O 半径为a的上半球面 方程表示母线平行于z轴的圆柱面 它的准线xOy面上的圆 圆心在点 所以方程组表示上述半球面与圆柱面的交线 二 空间曲线的参数方程 将曲线C上动点的坐标x y z都表
2、示成一个参数t的函数 x x t y y t 2 z z t 当给定t t1时 就得到C上一个点 x y z 随着t的变动便可得曲线C上的全部点 方程组 2 叫做空间曲线的参数方程 例3 如果空间一点M在圆柱面x2 y2 a2上以角速度 绕z轴旋转 同时又以线速度v沿平行于z轴的正方向上升 其中 v都是常数 那末点M构成的图形叫做螺旋线 试建立其参数方程 解 取时间t为参数 设当t 0时 动点位于x轴上的一点A a 0 0 处 经过时间t 由A运动到M x y z M在xOy面上的投影为M x y 0 1 动点在圆柱面上以角速度 绕z轴旋转 所以经过时间t AOM t 从而 x OM cos
3、AOM acos t y OM sin AOM asin t 2 动点同时以线速度v沿z轴向上升 因而 z MM vt 得螺旋线的参数方程 x acos ty asin tz vt 注 还可以用其它变量作参数 例如 令 t 为参数 螺旋线的参数方程为 x acos y asin z b 当 从 0变到 0 是 z由b 0变到b 0 b 即M点上升的高度与OM 转过的角度成正比 特别 当 2 时 M点上升高度h 2 b 在工程上称h 2 b为螺距 三 空间曲线在坐标面上投影 设空间曲线C的一般方程 F x y z 0G x y z 0 3 由方程组 3 消去z后得方程 H x y 0 4 方程
4、4 表示一个母线平行于z轴的柱面 曲线C一定在曲面上 以曲线C为准线 母线平行于z轴 即垂直xOy面 的柱面叫做曲线C关于xOy面的投影柱面 投影柱面与xOy面的交线叫做空间曲线在xOy面上的投影曲线 或简称投影 所以方程所表示的曲线必定包含了空间曲线C在xOy面上的投影 H x y 0z 0 注 同理可得曲线在yOz面或xOz面上的投影曲线方程 例4 已知两个球面的方程分别为 x2 y2 z2 1和x2 y 1 2 z 1 2 1求它们的交线C在xOy面上的投影曲线的方程 解 联立两个方程消去z 得 这是母线平行于z轴的椭圆柱面 两球面的交线C在xOy面上的投影曲线方程为 解 半球面与锥面的
5、交线为 由方程消去z 得x2 y2 1 这是一个母线平行于z轴的圆柱面 于是交线C在xoy面上的投影曲线为 x2 y2 1z 0 这是xoy面上的一个圆 所以 所求立体在xoy面上的投影为 x2 y2 1 四 二次曲面 1 定义 由x y z的二次方程 ax2 by2 cz2 dxy exz fyz gx hy iz j 0 所表示的曲面 称为二次曲面 其中a b i j为常数 研究方法是采用平面截痕法 2 用平面z k去截割 要求 k c 得椭圆 当 k c时 k 越大 椭圆越小 当 k c时 椭圆退缩成点 2 几种常见二次曲面 1 椭球面 1 用平面z 0去截割 得椭圆 3 类似地 依次用
6、平面x 0 平面y 0截割 得椭圆 特别 当a b c时 方程x2 y2 z2 a2 表示球心在原点o 半径为a的球面 2 椭圆抛物面 1 平面z k k 0 截割 截线是平面z k上的椭圆 k 0时 为一点O 0 0 0 随着k增大 椭圆也增大 2 用平面y k去截割 截线是抛物线 3 类似地 用平面x k去截割 截线是抛物线 第七节平面及其方程 一 平面的点法式方程 1 法向量 若一非零向量n垂直于一平面 则称向量n为平面 的法向量 注 1 对平面 法向量n不唯一 2 平面 的法向量n与 上任一向量垂直 2 平面的点法式方程 设平面 过定点M0 x0 y0 z0 且有法向量n A B C
7、得 A x x0 B y y0 C z z0 0 称方程 1 为平面的点法式方程 1 例1 求过点 2 3 0 且以n 1 2 3 为法向量的平面的方程 解 根据平面的点法式方程 1 可得平面方程为 1 x 2 2 y 3 3 z 0 0 即 x 2y 3z 8 0 解 先找出该平面的法向量n 14i 9j k 例2 求过三点M1 2 1 4 M2 1 3 2 和M3 0 2 3 的平面的方程 所以 所求平面的方程为 14 x 2 9 y 3 z 4 0 即 14x 9y z 15 0 二 平面的一般方程 证 A B C不能全为0 不妨设A 0 则方程可以化为 它表示过定点 且法向量为n A
8、B C 的平面 注 一次方程 Ax By Cz D 0 2 称为平面的一般方程 例2 已知平面过点M0 1 2 3 且平行于平面2x 3y 4z 1 0 求其方程 解 所求平面与已知平面有相同的法向量n 2 3 4 2 x 1 3 y 2 4 z 3 0 即 2x 3y 4z 4 0 2 平面方程的几种特殊情形 1 过原点的平面方程 由于O 0 0 0 满足方程 所以D 0 于是 过原点的平面方程为 Ax By Cz 0 2 平行于坐标轴的方程 考虑平行于x轴的平面Ax By Cz D 0 它的法向量n A B C 与x轴上的单位向量i 1 0 0 垂直 所以 n i A 1 B 0 C 0
9、A 0 于是 平行于x轴的平面方程是By Cz D 0 平行于y轴的平面方程是Ax Cz D 0 平行于z轴的平面方程是Ax By D 0 特别 D 0时 平面过坐标轴 3 平行于坐标面的平面方程 平行于xOy面的平面方程是Cz D 0 平行于xOz面的平面方程是By D 0 平行于yOz面的平面方程是Ax D 0 例3 求通过x轴和点 4 3 1 的平面方程 解 由于平面过x轴 所以A D 0 设所求平面的方程是By Cz 0 又点 4 3 1 在平面上 所以 3B C 0 C 3B 所求平面方程为By 3Bz 0 即 y 3z 0 例4 设平面与x y z轴的交点依次为P a 0 0 Q
10、0 b 0 R 0 0 c 三点 求这平面的方程 解 设所求平面的方程为 Ax By Cz D 0 因P a 0 0 Q 0 b 0 R 0 0 c 三点都在这平面上 于是 aA D 0bB D 0cC D 0 解得 所求平面的方程为 即 3 三 两平面的夹角 1 定义 两平面的法向量的夹角 通常指锐角 称为两平面的夹角 若已知两平面方程是 1 A1x B1y C1z D1 0 法向量n1 A1 B1 C1 2 A2x B2y C2z D2 0 法向量n2 A2 B2 C2 所以 2 平面 1与 2相互垂直 A1A2 B1B2 C1C2 0 平面 1与 2相互平行 规定 若比例式中某个分母为0
11、 则相应的分子也为0 例6 一平面通过两点M1 1 1 1 和M2 0 1 1 且垂直于平面x y z 0 求它的方程 解 设所求平面的一个法向量n A B C 已知平面x y z 0的法向量n1 1 1 1 于是 A 1 B 0 C 2 0A 1 B 1 C 1 0 解得 B CA 2C 取C 1 得平面的一个法向量 n 2 1 1 所以 所求平面方程是 2 x 1 1 y 1 1 z 1 0 即 2x y z 0 例 设P0 x0 y0 z0 是平面Ax By Cz D 0外一点 求P0到这平面的距离d 解 在平面上任取一点P1 x1 y1 z1 P0 P1 N n 过P0点作一法向量n A B C 于是 又A x0 x1 B y0 y1 C z0 z1 Ax0 By0 Cz0 D Ax1 By1 Cz1 D Ax0 By0 Cz0 D 所以 得点P0到平面Ax By Cz D 0的距离 4 例如 求点A 1 2 1 到平面 x 2y 2z 10 0的距离
