1、第五章 圆（二）五、圆内接四边形1、名称：外接圆，圆内接四边形。2、性质：对角互补。外角等于内对角。共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角相等。3、四点共圆的判定：证四点共圆是建立在四边形的基础上，是平面几何中化未知为已知的过程。从 被 证 共 圆 的 四 点 中 先 选 出 三 点 作 一 圆 ， 然 后 证 另 一 点 也在 这 个 圆 上 ， 若 能 证 明 这 一 点 ， 即 可 肯 定 这 四 点 共 圆 。 一组对角互补的四边形，四顶点共圆。一外角等于内对角的四边形，四顶点共圆。把 被 证 共 圆 的 四 个 点 连 成 共 底 边 的 两 个 三 角 形 ， 且 两三 角
2、形 都 在 这 底 边 的 同 侧 ， 若 能 证 明 其 顶 角 相 等 (同 弧 所 对 的 圆周 角 相 等 ） ， 从 而 即 可 肯 定 这 四 点 共 圆 （ 若 能 证 明 其 两 顶 角 为直 角 ， 即 可 肯 定 这 四 个 点 共 圆 ， 且 斜 边 上 两 点 连 线 为 该 圆 直 径 。） 把 被 证 共 圆 的 四 点 两 两 连 成 相 交 的 两 条 线 段 ， 若 能 证 明 它 们各 自 被 交 点 分 成 的 两 线 段 之 积 相 等 ， 即 可 肯 定 这 四 点 共 圆 （ 相 交弦 定 理 的 逆 定 理 ） ； 或 把 被 证 共 圆 的 四
3、点 两 两 连 结 并 延 长 相 交 的 两线 段 ， 若 能 证 明 自 交 点 至 一 线 段 两 个 端 点 所 成 的 两 线 段 之 积 等 于自 交 点 至 另 一 线 段 两 端 点 所 成 的 两 线 段 之 积 ， 即 可 肯 定 这 四 点 也共 圆 （ 割 线 定 理 的 逆 定 理 ） 证 被 证 共 圆 的 点 到 某 一 定 点 的 距离 都 相 等 ， 从 而 确 定 它 们 共 圆 既 连 成 的 四 边 形 三 边 中 垂 线 有 交点 ， 即 可 肯 定 这 四 点 共 圆 。 同 斜 边 的 两 个 Rt 三 角 形 的 四 个 顶点 共 圆 ， 其 斜
4、 边 为 圆 的 直 径 。例 1 求 证 ： 锐 角 三 角 形 三 边 上 中 点 和 一 边 上 高 的 垂 足 四 点 共圆 。已 知 ： 如 图 在 ABC 中 ， D、 E、 F 分 别 是 BC、 CA、 AB的 中 点 。 AP BC 于 P求 证 ： D、 P、 E、 F 四 点 共 圆 。证 明 ： D、 E、 F 分 别 是 BC、 CA、 AB 的 中 点 DCEF 是 平 行 四 边 形 EFD= C又 AP BC EP=EC EPC= C EPC= EFD D、 P、 E、 F 四 点 共 圆 。例 2 已 知 在 ABC 中 ， AD BC 于 D， DE AC
5、于E， DF AB 于 F。求 证 ： F、 B、 C、 E 四 点 共 圆证 明 ： DF AB,DE AC AFDE 共 圆 ADF= AEF又 AD BC ADF+ BDF=90° 又 B+ BDF=90° ADF= B AEF B F、 B、 C、 E 四 点 共 圆作 业 ： 求 证 ： 钝 角 三 角 形 各 边 中 点 和 夹 钝 角 的 一 边 上 的 高 的 垂 足四 点 共 圆 。 对 角 线 互 相 垂 直 的 四 边 形 各 边 中 点 四 点 共 圆 。 M、 N 是 ABC 的 AB、 AC 上 的 中 点 ， MQ AB 交 AC于 Q， NP
6、 AC 交 AB 于 P， 求 证 ： P、 B、 C、 Q 四 点 共 圆 。六 、 直 线 和 圆 的 位 置 关 系1、 位 置 关 系 相 离 没 有 交 点 d r 相 切 一 个 交 点 d=r 相 交 两 个 交 点 d r2、 切 线 判 定 ： 有 一 个 交 点 d=r 过 半 径 外 端 且 垂 直 于 半 径 的 直线 是 切 线 。 性 质 ： 过 圆 心 垂 直 于 半 径 的 直 线 必 经 过 切 点 。 过 切 点垂 直 于 切 线 的 直 线 必 经 过 圆 心 。 切 线 垂 直 于 过 切 点 的 半 径 。 切 线 长定 理 ： 从 圆 外 一 点 向
7、 圆 引 切 线 ， 这 两 条 切 线 长 相 等 。推 论 ： 从 圆 外 一 点 向 圆 引 两 条 切 线 ， 这 点 和 圆 心 的 连 线 平分 这 两 条 切 线 所 成 的 角 。推 论 ： 从 圆 外 一 点 向 圆 引 两 条 切 线 ， 这 点 和 圆 心 的 连 线 垂直 平 分 连 接 两 切 点 的 弦 。 从 圆 外 一 点 向 圆 引 切 线 的 方 法 ： 以 圆 外 一 点 P 到 圆 心 O的 距 离 为 直 径 作 图 。 (略 ) 在 已 知 线 段 上 作 含 有 已 知 弓 形 角 的 弧 （ 略 ）3、 圆 幂 定 理 ： 和 圆 有 关 的 成
8、 比 例 线 段 定 理 。 相 交 弦 定 理 ： 圆 内 的 两 条 相 交 弦 ， 被 交 点 分 成 的 两 条 线 段长 的 积 相 等 ， 即 PA·PB=PC·PD。 切 割 线 定 理 ： 从 圆 外 一 点 引 圆 的 切 线 和 割 线 ， 切 线 长 是 这点 到 割 线 与 圆 交 点 的 两 条 线 段 长 的 比 例 中 项 ,即 PT2=PA·PB。 割 线 定 理 ： 从 圆 外 一 点 P 引 两 条 割 线 与 圆 分 别 交 于A、 B； C、 D， 则 有 PA·PB=PC·PD。 统 一 归 纳 ： 过
9、 任 意 不 在 圆 上 的 一 点 P 引 两 条 直 线L1、 L2， L1 与 圆 交 于 A、 B（ 可 重 合 ， 即 切 线 ） ， L2 与 圆 交 于C、 D（ 可 重 合 ） ， 则 有 PA·PB=PC·PD。总 结 ： 过 任 意 不 在 圆 上 的 一 点 P 引 一 条 直 线 与 圆 交 于 AB 两点 ， PA·PB 为 定 值 。 以 直 径 为 底 边 的 圆 内 接 三 角 形 中 的 射 影 定 理 （ 略 ） 。七 、 圆 和 圆 的 位 置 关 系1、 位 置 关 系 ： 相 离 没 有 交 点 d R+r 外 切 一 个
10、 交 点d=R+r 相 交 两 个 交 点 d R+r 内 切 一 个 交 点 d=R-r 内 含 没 有 交 点 d R-r定 理 ： 两 圆 相 交 ， 连 心 线 垂 直 平 分 共 弦 。定 理 ： 两 圆 相 切 ， 连 心 线 经 过 切 点 。定 理 ： 两 圆 相 切 ， 连 心 线 垂 直 于 过 切 点 的 公 切 线 。2、 公 切 线 ：定 理 ： 两 内 公 切 线 的 长 相 等 。定 理 ： 两 外 公 切 线 的 长 相 等 。定 理 ： 连 心 线 经 过 两 公 切 线 的 交 点 。定 理 ： 连 心 线 平 分 两 公 切 线 所 成 的 角 。注 意
11、： 两 圆 相 交 时 ， 公 共 弦 是 一 重 要 的 辅 助 线 。 两 圆 相 切 时 ， 过 切 点 的 公 切 线 是 一 重 要 的 辅 助 线 。作 业 ： 如 图 ， 已 知 EP 切 O1 于 P， PAC 交 O2 于C， PBD 交 O2 于 D， 求 证 ：CD EP提 示 ： 作 公 共 弦 AB八 、 正 多 边 形1、 定 义 ： 各 边 相 等 、 各 角 也 相 等 的 多 边 形 。2、 将 圆 n 等 分 ， 则 依 次 连 接 各 分 点 所 成 的 图 形 是 圆 内 接 正 多 边 形 。 过 各 分 点 作 圆 的 切 线 得 圆 外 切 正 多
12、 边 形 。 任 何 正 多 边 形 都 有 一 个 内 切 圆 和 一 个 外 接 圆 。 这 两 个 圆是 同 心 圆 ， 这 个 圆 心 叫 正 多 边 形 的 中 心 。 外 接 圆 的 半 径 叫 正多 边 形 的 半 径 ， 用 Rn 表 示 ， 内 切 圆 的 半 径 叫 正 多 边 形 的 边 心距 ， 用 rn 表 示 。 正 多 边 形 每 一 条 边 所 对 的 圆 心 角 叫 正 多 边 形的 中 心 角 ， 用 n 表 示 。3、 有 关 计 算 ： 若 正 多 边 形 的 边 数 、 边 长 、 半 径 、 边 心 距 、 中 心 角 、 周 长 、面 积 分 别
13、用 n、 a、 R、 r、 、 L、 S 表 示 。 则 = a=Rsin R2=r2+( )2 360°n 180°n a2 r=Rcos L=n×a S= ar180°n n2 正 n 边 形 的 内 角 和 =（ n 2)×180° 正 n 边 形 的 一 个 内 角 =(n-2)×180°÷n. 正 n 边 形 外 角 和 等 于 n·180° (n 2)·180°=360° 所 以 正 n 边 形 的 一 个 外 角 为 ： 360÷n
14、. 所 以 正 n 边 形 的 一 个 内 角 也 可 以 用 这 个 公 式 ： 180°-360÷n. 4、正多边形的对角线和对称轴 对 角 线 ： 在 一 个 正 多 边 形 中 ， 一 个 点 可 以 与 除 了 与 他 相 邻的 所 有 点 连 线 ， 那 么 这 个 正 多 边 形 就 可 以 从 一 个 顶 点 引 (n-3)条对 角 线 ， 也 就 成 了 (n-2)个 三 角 形 。 三 角 形 内 角 和 =180 度 ， 所 以把 边 数 减 2 乘 上 180 度 ， 就 是 这 个 正 多 边 形 的 内 角 和 。 对 角 线 数 量 的 计 算
15、 公 式 ： n(n-3)÷2。 对 称 轴 ： 奇数边：连接一个顶点和顶点所对的边的中点，即为对称轴；偶数边：连接相对的两个边的中点，或者连接相对称的两个顶点，都是对称轴。正 n 边形边数为对称轴的条数为 n。5、圆的等分：3、6、12；4、8、16；5、10、20在 正 多 边 形 中 ， 只 有 三 种 能 用 来 铺 满 一 个 平 面 而 中 间 没 有 空隙 ， 这 就 是 正 三 角 形 、 正 方 形 、 正 六 边 形 。 因 为 正 三 角 形 的 每 一个 角 等 于 60 度 ， 六 个 正 三 角 形 拼 在 一 起 时 ， 在 公 共 顶 点 上 的 六
16、个角 之 和 等 于 360 度 ； 正 方 形 的 每 个 角 等 于 90 度 ， 所 以 四 个 正 方形 拼 在 一 起 时 ， 在 公 共 顶 点 上 四 个 角 的 和 也 刚 好 等 于 360 度 ； 正六 边 形 的 每 个 角 等 于 120 度 ， 三 个 正 六 边 形 拼 在 一 起 时 ， 在 公 共顶 点 上 的 三 个 角 之 和 也 等 于 360 度 ， 如 果 用 别 的 正 多 边 形 ， 就 不能 达 到 这 个 要 求 。 例 如 正 五 边 形 的 每 只 角 等 于 108 度 ， 把 三 个 正五 边 形 拼 在 一 起 ， 在 公 共 顶 点
17、 上 三 个 角 之 和 是 108 度 *3=324 度 ，小 于 360 度 有 空 隙 。 而 空 隙 处 又 放 不 下 第 四 个 正 五 边 形 ， 因 为108 度 *4=432 度 ， 大 于 360 度 。6、 黄 金 分 割 （ 中 外 比 ） 的 尺 规 作 图 。以 AB 为 一 条 直 角 边 作 Rt ABC 使 另 一 条 直 角 边 BC= AB，12以 C 为 圆 心 ， CB 为 半 径 画 弧 交 CA 于 D， 以 A 为 圆 心 ， AD 为半 径 画 弧 交 AB 于 P。 P 就 是 AB 的 黄 金 分 割 点 。 将 圆 的 半 径 黄金 分
18、割 ， 长 段 就 是 正 十 边 形 的 边 长 。7、 圆 周 长 、 弧 长 、 圆 面 积 、 扇 形 面 积 、 弓 形 面 积 、 圆 环 面积 C=2 r= d l= n S 圆 = r22 r360 S 扇 =n r2/360 S 弓 = n r2/360-S S 环 =S 大 圆 -S小 圆8、 点 的 轨 迹 ： 点 按 照 一 定 条 件 运 动 ， 所 遗 留 下 的 痕 迹 。轨 迹 的 条 件 ： 连 贯 、 位 置 、 大 小 、 形 状 。轨 迹 命 题 的 结 构 ： 前 提 -是 -结 论 。 圆 ： 到 定 点 距 离 等 于 定 长 的 点 的 轨 迹
19、是 以 定 点 为 圆 心 、 定长 为 半 径 的 圆 。 角 平 分 线 ： 到 角 的 两 边 距 离 相 等 的 点 的 轨 迹 。 中 垂 线 ： 到 线 段 两 端 距 离 相 等 的 点 的 轨 迹 。 正 中 平 行 线 ： 到 两 平 行 线 距 离 相 等 的 点 的 轨 迹 。 双 轨 平 行 线 ： 到 一 条 直 线 距 离 相 等 的 点 的 轨 迹 。 含 定 圆 周 角 的 弧 ： 到 一 线 段 两 端 的 视 角 等 于 定 角 的 点 的 轨迹 是 以 这 段 线 为 弦 所 含 圆 周 角 等 于 定 角 的 两 条 弧 。9、 吻 接 ： 弧 与 直 线 或 者 弧 与 弧 在 切 点 处 相 接 。 弧 与 直 线 的 吻 接 弧 与 弧 的 吻 接
