1、1 近世代数及其应用 罗守山教授博士生导师北京邮电大学计算机学院 2 第4章环 群是只有一种二元运算的代数系统 环是有二种二元运算的代数系统 环是建立在群基础上的代数系统 环的许多基本概念与理论是群的相应内容的推广 环论起源于19世纪关于实数域的扩展和分类的研究 环在编码理论 计算机等的研究有许多应用 学习环知识应随时与群的相应概念与理论进行比较 既复习群的内容 又学习新的知识 3 复习群的定义 4 定义一个交换群叫做一个加群 假如我们把这个群的代数运算叫做加法 并且用符号 来表示 一个加群的唯一的单位元我们用0表示 并且把它叫做零元 我们有以下计算规则 1 0 a a 0 a a是任意元 元
2、a的唯一的逆元我们用来表示 a 并且把它叫做的负元 简称负 a b 记为a b 加群及符号的转换 5 第1节环的定义 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 第2节整环 除环 域的定义 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 域中元素的计算规则 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 整环 除环 域的判定 63 近世代数 代数系统 带有运算的集合 1 研究其子系统 商系统 从内部入手
3、 从外部入手 2 研究其同态和同构 子系统 子群 子环 子域商系统 商群 商环 商域 第3节子环 环的同态 64 65 66 子环定义及等价条件 与群相类比给出 下面我们把环与群类比 把环看作是具有一个乘法运算的加群 即设想加群是基础 而乘法是环的 另一个运算 甚至在数学里 发现真理的工具是归纳和类比 法国数学家拉普拉斯 类比是通过比较两类不同对象A B间的某些属性的相似性 从而猜想 若A具有某种其他属性 则B也具有这种属性 67 在群论中 在环论中 68 69 70 71 复习 具有同样多代数运算的代数系统间的同态可以保持相应的结合律 交换律和分配律 定理 假定 都是集合A的代数运算 都是集
4、合的代数运算 和同态 那么 i 若适合第一分配律 也适合第一分配律 ii 若适合第二分配律 也适合第二分配律 定理 假定 对于代数运算和来说 和同态 那么 i 若适合结合律 也适合结合律 ii 若适合交换律 也适合交换律 72 在群论中 在环论中 73 74 75 由上面的讨论我们可以看出 经过了一个同态满射之后 环的单位元和交换律是可以保持的 我们知道 若干普通计算方法在一个一般的环里不成立 它们要在有附加条件的环里才能成立 由前述讨论知 环里的三种非常重要附加条件是 交换律 单位元和零因子 那么现在的问题是 一个环有没有零因子这个性质经过了一个同态满射之后可不可以保持呢 76 77 78 79 80 第4节矩阵环 多项式环 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 第5节分式域 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 谢谢
