1、 0 2脉冲函数d Function一 定义 fn x 可以是Nrect Nx Nsinc Nx NGaus Nx 二维圆域函数等等 物理系统已无法分辨更窄的函数 定义1 练习 画出rect x 10rect 10 x sinc x 10sinc 10 x 的示意图 可描述 单位质量质点的密度 单位电量点电荷的电荷密度 单位光通量点光源的发光度 单位能量无限窄电脉冲的瞬时功率等等 0 2脉冲函数d Function一 定义 续 d 函数的图示 0 2d 函数二 性质 1 筛选性质sifting 由定义3直接可证 设f x 在x0点连续 则 证明思路 二者对检验函数在积分中的作用相同 练习 推论
2、 d x 是偶函数 2 缩放性质scaling 与普通函数缩放性质的区别 普通函数 因子a不影响函数的高度 但影响其宽度d 函数 因子a不影响函数的宽度 但影响其高度 通过此积分 可从f x 中筛选出单一的f x0 值 0 2d 函数二 性质 续 3 乘积性质 设f x 在x0点连续 则 f x d x x0 f x0 d x x0 任意函数与d 函数的乘积 是幅度变化了的d 函数 练习 计算sinc x d x 2 sinc x d x 0 5 3 sinc x d x 1 4 3x 5 d x 3 0 2d 函数三 d 函数的阵列 梳状函数comb x 表示沿x轴分布 间隔为1的无穷多脉冲
3、的系列 例如 不考虑缝宽度和总尺寸的线光栅 间隔为t的脉冲系列 定义 n为整数 0 2d 函数三 d 函数的阵列 梳状函数comb x 梳状函数与普通函数的乘积 利用comb x 可以对函数f x 进行等间距抽样 二维梳状函数 comb x y comb x comb y 练习 0 4 已知连续函数f x 若x0 b 0 利用d函数可筛选出函数在x x0 b的值 试写出运算式 0 5 f x 为任意连续函数 a 0 求函数g x f x d x a d x a 并作出示意图 0 6 已知连续函数f x a 0和b 0 求出下列函数 1 h x f x d ax x0 2 g x f x com
4、b x x0 b 0 2d 函数练习 0 4 0 5 0 6 g x f x d x a d x a f x d x a f x d x a f a d x a f a d x a h x f x d ax x0 作图 0 2梳状函数练习0 6 2 练习0 7画函数图形 1 2 0 3卷积convolution一 概念的引入例题 用宽度为a的狭缝 对平面上光强分布f x 2 cos 2pf0 x 扫描 在狭缝后用光电探测器记录 求输出光强分布 卷积概念的引入 探测器输出的光功率分布 0 3卷积convolution一 概念的引入 II 设 物平面光轴上的单位脉冲在像平面产生的分布为h x 像平
5、面上的分布是物平面上各点产生的分布叠加以后的结果 需用卷积运算来描述 0 3卷积convolution一 概念的引入 物平面光轴上的单位脉冲在像平面产生的分布为h x 像平面上的分布是物平面上各点产生的分布叠加以后的结果 需用卷积运算来描述 x 0 3卷积convolution二 定义 若f x 与h x 有界且可积 定义 卷积符号 g x 是f x 与h x 两个函数共同作用的结果 对于给定的x 第一个函数的贡献是f x 则第二个函数的贡献是h x x 需要对任何可能的x求和 g x 称为函数f x 与h x 的卷积 二维函数的卷积 0 3卷积convolution三 计算方法 借助几何作图
6、 练习 计算rect x rect x 1 用哑元t画出函数f t 和h t 2 将h t 折叠成h t 3 将h t 移位至给定的x h t x h x t 4 二者相乘 5 乘积函数曲线下面积的值即为g x 步骤 0 3卷积convolution三 计算方法 几何作图法 练习 计算rect x rect x 1 用哑元t画出二个rect t 2 将rect t 折叠后不变 3 将一个rect t 移位至给定的x0 rect t x0 rect x0 t 4 二者相乘 乘积曲线下面积的值即为g x0 x 1 g x 0 1 x 0 g x 1 x 1 2 1 2 1 x0 x 1 g x 1
7、 1 2 x 1 2 1 x rect x rect x tri x 卷积概念的引入 回到前面的例题 探测器输出的光功率分布 计算这个卷积 讨论这个结果 f x 2 cos 2pf0 x 练习 若 证明 令x x x 证 作业0 8 若 证明 0 3卷积convolution四 性质 1 卷积满足交换律CommutativePropertyf x h x h x f x 推论 卷积是线性运算Linearity av x bw x h x a v x h x b w x f x 2 卷积满足分配律DistributiveProperty v x w x h x v x h x w x f x 3
8、 卷积满足结合律AssociativeProperty v x w x h x v x h x w x v x w x h x 0 3卷积convolution四 性质 续 4 卷积的位移不变性Shiftinvariance若f x h x g x 则f x x0 h x g x x0 或f x h x x0 g x x0 5 卷积的缩放性质Scaling若f x h x g x 则 0 3卷积convolution五 包含脉冲函数的卷积 即任意函数与d x 卷积后不变 根据1 d 函数是偶函数 2 d 函数的筛选性质 有 任意函数与脉冲函数卷积的结果 是将该函数平移到脉冲所在的位置 f x
9、d x x0 f x x0 f x 与脉冲阵列的卷积可在每个脉冲位置产生f x 的函数波形 用于描述各种重复性的结构 利用卷积的位移不变性可得 作业 0 9 利用梳函数与矩形函数的卷积表示线光栅的透过率 假定缝宽为a 光栅常数为d 缝数为N 0 10 利用包含脉冲函数的卷积表示下图所示双圆孔屏的透过率 若在其中任一圆孔上嵌入p位相板 透过率怎样变化 透过率 输出 输入 利用卷积性质求卷积的例子作业0 11 用图解法求图示两个函数的卷积f x h x 若要求写出解析运算式 f x 写成tri x 的平移式h x 写成d x 的平移式利用卷积的线性性质利用d函数的卷积性质利用卷积的平移性质 作业 0 10 解 t x y d x d 2 d x d 2 p位相板 输出 输入 exp jp 即 透过率 exp jp 1 d x d 2 d x d 2 若右边园孔上加p位相板 则
