1、课程名称 数值分析或计算方法 考试时要带上计算器 有函数的 第一章数值计算中的误差分析 绪论 内容提要 1 1计算方法的任务与特点 1 2误差与误差估计 误差知识 1 3选用算法时应遵循的原则 1 1计算方法的任务与特点 科学与工程计算过程 实际问题 数学模型 数值问题 算法 程序 调试 结果 计算机用途分类 科学计算 数据处理 计算方法的特点 严密的科学性 实验的技术性 高度的抽象性 应用的广泛性 提供算法 算法分析 兼顾计算机的特点 有效数字 精度 运算量 存储量等 第一章绪论第二章线性方程组求解第三章非线性方程求解第四章矩阵特征值问题 不讲 第五章函数的插值第六章曲线拟合第七章数值积分和
2、数值微分第八章常微分方程数值解法 本课程主要内容 1 2误差知识 误差与数值计算中的误差估计 内容提要 误差的来源及其分类误差的度量 误差与有效数字 数值计算的误差估计 一 误差来源及其分类 1 模型误差 描述误差 反映实际问题有关量之间的计算公式 数学模型 通常是近似的 2 观测误差 3 截断误差 方法误差 数值方法精确解与待求解模型的理论分析解之间的差异 这是由于我们需要将无穷过程截断为有限过程 而使得算法必须在有限步内执行结束而导致的 例如 4 舍入误差以四舍五入为例 也可以五舍六入等 最多舍去或添加最后一位的半个单位 注意 与截断误差不同 二 误差的度量 绝对误差相对误差有效数字度量间
3、的关系 1 绝对误差 绝对误差定义 准确值x减近似值x 绝对误差限 书上有错 改正 2 相对误差 绝对误差限虽然能够刻划对同一真值不同近似的好坏 但它不能刻划对不同真值近似程度的好坏 有效数 当x 为四舍五入得到的近似数 则称x 为有效数 有效数的绝对误差限 相对误差限 有效数字位数举例 例 若有效数x 1 02 则绝对误差限 x 0 005相对误差限 x x x 0 0049 x 具有3位有效数字 若有效数x 2500 则绝对误差限 x 0 5 相对误差限 x x x 0 0002x 具有4位有效数字 若有效数x 25 102 则 x 50 x x x 0 02 x 具有2位有效数字 注意
4、有效数2500 25 00 102但与25 102的误差不同 当然与一个准确数2500也不同 关于某一位的半个单位 3 有效数字 教材第6页中间 若近似数x 的绝对误差限是 不超过 某一位的半个单位 则称其精确到这一位 且从该位到x 的第一位非零数字共有n位 则称近似数x 具有n位有效数字 黑板举例 分两种情况 有效数的有效数字位数 若既知道x 非有效数 又知道x时 如何求有效数字位数 见下例 举例 x 3 1415926 近似数x1 3 14102 x2 3 142 3位有效数字 非有效数 4位有效数字 有效数 注意 一个有效数 若知道对应的准确数 此时所求误差限可能不同 而有效数字位数怎样
5、求都一样 数的标准形式 Remark1 有效数的误差限是末位数单位的一半 可见有效数本身就体现了误差界 Remark2 对真值进行四舍五入得到有效数 Remark3 准确数字有无穷多位有效数字 Remark4 从实验仪器所读的近似数 最后一为是估计位 不是有效数 估计最后一位是为了确保对最后一位进行四舍五入得到有效数 例从最小刻度为厘米的标尺读得的数据123 4cm是为了得到有效数123 cm 读得数据156 7cm是为了得到有效数157 cm 4 误差度量间的联系 绝对误差与相对误差 绝对误差与有效数字 教材第7页1 2 2式 相对误差与有效数字 教材第8页1 2 3式 定理证明 证毕 Re
6、mark1 该定理实质上给出了一种求相对误差限的方法 2 仅从并不能保证x 一定具有n位有效数字 如设其近似值a 0 484 其相对误差为 我们并不能由此断定a有两位有效数字 因为 例题 解 三 数值运算的误差估计 由于自变量的误差 引起函数值的误差 也称为误差传播 这种函数值的误差往往很难精确描述 只能大体估计 例如一元函数 二元函数 等 y 的绝对误差E y y y 相对误差Er y y y y 复习泰勒公式 泰勒公式分析初值误差传播 相对误差 教材第9页1 2 6式 进而得到如下绝对误差限和相对误差限传播关系 例题 参见教材第10页例3 求导数复习 基本初等函数的导数 四则运算的导数 复
7、合函数求导 选用数值稳定性好的算法 定义 一个算法 如果在运算过程中舍入误差在一定条件下能够得到控制 或者舍入误差的增长不影响产生可靠的结果 则称该算法是数值稳定的 否则称其为数值不稳定 例 计算如下积分近似值的两种方案比较 方法1 1 3选用算法应遵循的原则 方法1计算结果 方法一结果分析 方法一分析 计算结果表明 舍入误差的传播近似依5的幂次进行增长 因而是一种不稳定的方法 方法二 由此分析知 该方法是稳定的 关于初值的近似可由下面式子得到 方法2计算结果 简化计算步骤以减少运算次数 例1 例2秦九韶算法 例 尽量避免相近的数相减例x 52 127x 52 129四位有效数字y 52 12
8、3y 52 121四位有效数字A x y 0 004A x y 0 008零位有效数字结论 避免相近数相减 合理安排量级相差很大的数之间的运算次序 尽可能避免大数 吃掉 小数 一些避免相近数相减示例当 x 1时 当 x 1时 尽可能避免绝对值很小的数做分母 防止出现溢出 当a b中有近似值时 由 若 则可能很大 当a b都是准确值时 由于很大 会使其它较小的数加不到中而引起严重误差 或者会发生计算机 溢出 导致计算无法进行下去 总之 除了算法的正确性之外 在算法设计中至少还应 1选用数值稳定性好的算法 2简化计算步骤以减少运算次数 3尽量避免两个相近的近似数相减 4尽可能避免绝对值很小的数做分母 防止出现溢出 5合理安排量级相差很大的数之间的运算次序 防止大数 吃掉 小数
