1、1 第二讲相似矩阵的概念 二 相似矩阵与相似变换的性质 三 方阵相似对角化的条件 一 相似矩阵的概念 第五章相似矩阵与二次型 2 则称矩阵A相似于矩阵B 一 相似矩阵的概念 定义设A B为n阶矩阵 P为n阶可逆 矩阵 且 P 1AP B 对A进行运算P 1AP称为对A进行相似变换 可逆矩阵P称为把A变成B的相似变换矩阵 3 例如 因为 所以A与B相似 4 二 相似矩阵与相似变换的性质 相似描述了矩阵之间的一种关系 这种关系具有下面的性质 5 以下设A B是同阶矩阵 因而A与B有相同的特征多项式和特征值 性质1若矩阵A与矩阵B相似 则 A E B E 相似的矩阵具有一些共性 也称为相似不变性 证
2、明 因为A与B相似 所以存在可逆矩阵P使得 6 相似变换是不改变特征值的变换 推论若n阶矩阵A与对角矩阵 diag 1 2 n 相似 则 1 2 n即是A的n个特征值 7 g A 与g B 相似 证明略 性质3若矩阵A与B相似 k是常数 m是 正整数 g x a0 xm a1xm 1 am 则 kA与kB相似 Am与Bm相似 性质2若矩阵A与矩阵B相似 且矩阵A 可逆 则矩阵B也可逆 且A 1与B 1相似 8 例1设与 相似 试求之值 解 根据相似矩阵的性质知 5 4是A的特征值 所以 由第二个等式得x 4 又tr A tr 可得y 5 9 些运算 例2设 在矩阵的运算中 对角矩阵的运算很简便
3、 如 果一个矩阵能够相似于对角矩阵 则可能简化某 请看下例 计算Ak 10 容易验证 于是 由此可得 直接计算 运算量很大也不易找出规律 利用A相似于对角矩阵的性质 11 相应的可逆矩阵P 那么 是否每个矩阵都能相似于对角矩阵 如 果能相似于对角矩阵 怎样求出这个对角矩阵及 下面我们就来讨论这个问题 为把矩阵A对角化 若矩阵A与对角矩阵相似 则称A能对角化 求相似变换矩阵P 使P 1AP 为对角矩阵称 12 定理n阶矩阵A相似于对角矩阵 的充 要条件是A有n个线性无关的特征向量 推论若n阶矩阵A有n个不同的特征值 则A必能相似于对角矩阵 根据特征向量的性质 属于不同特征值的特征向量线性无关 知 若A有n个不同的特征值 则A必有n个线性无关的特征向量 因此A可以对角化 有重特征值的方阵A 有可能不可对角化 也有可能可对角化 方阵A能否对角化 关键在于属于多重特征值的线性无关特征向量的个数 三 矩阵可对角化的条件 13 例3设有矩阵 问矩阵A是否可对角化 解 矩阵A的特征多项式为 14 所以A的三个特征值分别为 由推论知 则A必能相似于对角矩阵 15 2 方阵相似对角化的条件 1 相似矩阵和相似变换的概念 小结
