1、问题的提出解决问题的思路与方法基2时间抽取FFT算法基2频率抽取FFT算法FFT算法的实际应用 实序列的DFT计算 IDFT的快速计算方法 第3章离散傅里叶变换快速算法 FFT 时间抽取FFT 问题的提出 4点序列 2 3 3 2 DFT的计算复杂度 复数加法 N N 1 复数乘法 N2 如何提高DFT的运算效率 时间抽取FFT 解决问题的思路 1 将长序列DFT分解为短序列的DFT 2 利用旋转因子的周期性 对称性 可约性 合并DFT运算中的某些项 旋转因子的性质 1 周期性 2 对称性 3 可约性 时间抽取FFT 解决问题的方法 将时域序列逐次分解为一组子序列 利用旋转因子的特性 由子序列
2、的DFT来实现整个序列的DFT 基2时间抽取 DecimationintimeDIT FFT算法 基2频率抽取 DecimationinfrequencyDIF FFT算法 时间抽取FFT 基2时间抽取FFT算法 基2时间抽取FFT算法推导基2时间抽取FFT算法流图基2时间抽取FFT算法的计算复杂度基2时间抽取FFT算法流图规律 时间抽取FFT 设序列x k 的长度为N 2M M为正整数 如果序列长度不满足这个条件 可将序列x k 补零以满足该条件 N为2的整数幂的FFT算法称基 2FFT算法 将序列x k 按k的奇偶分成两组 基2时间抽取FFT算法推导 时间抽取FFT 基2时间抽取FFT算法
3、推导 X1 m 和X2 m 周期为N 2 时间抽取FFT 基2时间抽取FFT算法推导 因此有 时间抽取FFT 基2时间抽取FFT算法流图 N 2 x k x 0 x 1 4点基2时间抽取FFT算法流图 X1 0 X1 1 X2 0 X2 1 1 1 1 1 X 0 X 1 X 2 X 3 4点基2时间抽取FFT算法流图 8点基2时间抽取FFT算法流图 X1 0 X1 1 X1 2 X1 3 X2 0 X2 1 X2 2 X2 3 X 0 X 1 X 2 X 3 X 4 X 5 X 6 X 7 1 1 1 1 X1 0 X1 1 X1 2 X1 3 X2 0 X2 1 X2 2 X2 3 X 0
4、 X 1 X 2 X 3 X 4 X 5 X 6 X 7 1 1 1 1 8点基2时间抽取FFT算法流图 第一级 第二级 第三级 8点基2时间抽取FFT算法流图 FFT算法流图旋转因子规律 第二级的蝶形系数为 蝶形节点的距离为2 第一级的蝶形系数均为 蝶形节点的距离为1 第三级的蝶形系数为 蝶形节点的距离为4 第M级的蝶形系数为 蝶形节点的距离为N 2 2M 1 时间抽取FFT 算法的计算复杂度 复乘次数 倒序 k 0 k 1 k 2 时间抽取FFT 输入序列的变址过程 时间抽取FFT DIT算法的其它形式的流图 输入倒位序输出自然序输入自然序输出倒位序输入输出均为自然序相同几何形状 输入倒位
5、序输出自然序 输入自然序输出倒位序 时间抽取FFT 输入倒位序输出自然序 时间抽取FFT 输入自然序输出倒位序 时间抽取FFT 输入输出均为自然序 时间抽取FFT 相同几何形状 输入倒位序输出自然序 时间抽取FFT 相同几何形状 输入自然序输出倒位序 例 试利用N 4基2时间抽取的FFT流图计算8点序列x k 1 1 1 1 2 1 1 2 的DFT 解 根据基2时间抽取FFT算法原理 8点序列的DFTX m 可由两个4点序列的DFTX1 m 和X2 m 表达 如果按照序列x k 序号的奇偶分解为x1 k 和x2 k 则存在 其中x1 k 1 1 2 1 x2 k 1 1 1 2 X1 m 和X2 m 可通过4点的FFT来计算 例 试利用N 4基2时间抽取的FFT流图计算8点序列x k 1 1 1 1 2 1 1 2 的DFT 解 X1 m 5 1 1 1 X2 m 1 2 3j 1 2 3j 利用上述公式 可得序列x k 的DFTX m 为X m 6 0 293 3 535j 1 j 1 707 3 535j 4 1 707 3 535j 1 j 0 293 3 535j
