1、第1章误差和算法选择 1 1误差概念 分类 表示方法 运算 有效数字1 2算法选择 1 1误差概念 什么是误差 在数值计算中 影响计算结果精确度的因素主要有两类 1 失误 过失性误差 可避免 不作讨论 2 误差 非过失误差 不可避免 需解决误差的处理原则 应尽量减少误差或将误差控制在许可范围内 1 1误差概念 1 1 1误差分类 按误差的来源分 数值计算方法解决工程技术问题的一般过程 1 1误差概念 1 1 1误差分类 1 模型误差 是工程技术问题向数学模型转化过程中产生的 建模过程中 问题通常经过假设和简化 理想化的描述 通常是抓住主要因素而忽略将要因素 从而与实际问题有一定差异 这些差异就
2、是模型误差 计算方法 不讨论模型误差 1 1误差概念 1 1 1误差分类 2 测试误差 观测 测量值 通过仪器 仪表测量或观测所得到的数据 与实际值之间是有差异的 这类误差称为测试误差 计算方法 也不讨论测试误差 1 1误差概念 1 1 1误差分类 3 截断误差 方法误差 主要是指数学模型的精确解与由数值计算方法求出的近似解之间的误差 例如 1 将连续型问题转换为离散型算法处理 2 用有限步运算的算法来近似代替无穷过程问题 3 用已知的函数形式代替未知函数 注 截断误差是数值算法所固有的 也称为方法误差 1 1误差概念 1 1 1误差分类 例 自然对数底e的理论计算公式解 通常取前n项和作近似
3、计算 数值计算公式为 截断误差为 1 1误差概念 1 1 1误差分类 例 1 1误差概念 1 1 1误差分类 4 舍入误差 用计算机编程完成数值计算过程中产生的主要原因 由于计算机存储器的位数是有限的 它所能存储的数的位数也是有限的 超过这个范围的数就只能采取四舍五入或全部舍去等办法来处理 这类误差称为舍入误差 例 无理数 无限循环小数 等 注 舍入误差经过累积 可能会变得很大 1 1误差概念 1 1 2误差表示法和误差限 1 误差的表示方法衡量和表示误差大小的方法包括 绝对误差法相对误差法 1 1误差概念 1 1 2误差表示法和误差限 定义1 绝对误差是指理论值 x 与近似值 x 之差 记为
4、 注 符号问题 只能体现误差值本身的大小 未能刻画出近似值的精确程度 1 1误差概念 1 1 2误差表示法和误差限 定义2 相对误差 绝对误差与理论值 x 的比值注 由于理论值 x 通常是未知的 故计算相对误差时 分母通常用近似值 x 代替 1 1误差概念 1 1 2误差表示法和误差限 2 误差限绝对误差限 所允许的最大绝对误差 相对误差限 所允许的最大相对误差 对数值计算的算法 误差限是选择的重要依据 1 1误差概念 1 1 3误差计算 计算原则 1 误差大小本身也是难以精确的 因此误差计算只能是近似计算 2 通常 误差计算是指误差限的计算 或称为误差估计 1 1误差概念 1 1 3误差计算
5、 绝对误差的基本计算公式 按定义式计算 需知道理论值x 已知相对误差时 求出绝对误差 1 1误差概念 1 1 3误差计算 相对误差的基本计算公式 1 定义式 2 近似计算公式 注 当x 0时 上式仍然适用 1 1误差概念 1 1 3误差计算 例1 设理论值 取近似值试计算其绝对误差 限 和相对误差 限 解 1 1误差概念 1 1 3误差计算 例2 1 求的近似值 使其绝对误差限不超过0 5 10 3 2 求的近似值 使其相对误差限不超过0 01 1 1误差概念 1 1 3误差计算 解 1 设近似值为x 由绝对误差的定义有 2 尝试法 1 1误差概念 1 1 3误差计算 四则运算中的相对误差计算
6、 1 积的误差2 商的误差 1 1误差概念 1 1 3误差计算 3 和 差的误差 1 1误差概念 1 1 3误差计算 说明 在计算公式中的两个现象 1 当时 会导致很大 因此应避免两个相近数相减 2 当时 会导致在差的误差计算中也有类似现象 1 1误差概念 1 1 3误差计算 函数求值中的误差计算 1 一元函数y f x 公式依据 泰勒 Taylor 一阶展开式注 当时上式不适用 1 1误差概念 1 1 3误差计算 2 多元函数y f x1 x2 xn 1 1误差概念 1 1 3误差计算 例3 已知某矩形场地的长和宽的近似值为110m 80m 长和宽的绝对误差限分别为0 2m 0 1m 求该场
7、地面积的绝对误差限和相对误差限 解 1 1误差概念 1 1 4有效数字 1 1 5有效数字及与相对误差的关系能更好地描述和刻画近似值的精确程度的 主要有2种基本的手段 相对误差 有效数字 1 1误差概念 1 1 4有效数字 1 定点数下的有效数字 1 有效数字的定义 若近似值x与理论值x 的误差限不超过 小数点后 第n位数字的半个单位 则称近似值x准确到小数点第n位 且从小数点后第n位数字到x最左边的第一个非0数字均为有效数字 记为 1 1误差概念 1 1 4有效数字 2 有效数字的计算 可以分为两种情况 A 理论值x 是已知的B 理论值x 是未知的 1 1误差概念 1 1 4有效数字 例1
8、理论值x 是已知的 已知e 2 71828 求下列近似值有几位有效数字 e1 2 7 e2 2 7183 解 e e1 0 01828 0 5 10 1 准确到小数点后第1位 有效数字有2位 e e2 0 00002 0 5 10 4 准确到小数点后第4位 有效数字有5位 1 1误差概念 1 1 4有效数字 例2 x 是未知的 求下列近似值的有效数字并求绝对误差限 1 02 1 020 0 035 381 70 分析 已准确到小数点后的末位数字 解 有效数字小数后第 位绝对误差限 3位第2位0 5 10 2 4位第3位0 5 10 3 2位第3位0 5 10 3 5位第2位0 5 10 2 1
9、 1误差概念 1 1 4有效数字 2 浮点数形式下有效数字的定义 1 规格化的浮点数形式 0 x1x2 xn 10m x1 0 2 有效数字的定义 若近似值x的绝对误差限不超过10m p位的半个单位 则称近似值x准确到10m p位 且有p位有效数字 记为 x x 0 5 10m p x 0 x1x2 xp 10m x有p位有效数字 1 1误差概念 1 1 4有效数字 例 已知e 2 71828 则2 7183的有效数字有几位 用浮点数方式计算 解 e 0 271828 101e 0 27183 101 m 1 e e 0 000002 101 0 2 101 5 0 5 10m p p 5 1
10、 1误差概念 1 1 4有效数字 3 有效数字与相对误差的关系 浮点数下 设x 0 x1x2 xn 10m x1 0 有 0 x1 10m x 0 x1 1 10m 1 若x的有效数字为p位 则相对误差为 2 若x的相对误差为 则x的有效数字至少为p位 1 1误差概念 1 1 4有效数字 例 在定点数 浮点数形式下计算 1 若近似值x 3587 64具有6位有效数字 求其绝对误差和相对误差 2 若近似值x 0 0023156具有5位有效数字 求其绝对误差和相对误差 3 计算sin1 2 问计算结果至少需取几位有效数字才能保证相对误差不大于0 01 1 1误差概念 1 1 4有效数字 解 浮点数
11、形式下 1 x 0 358764 104 则m 4 p 6绝对误差 0 5 104 6相对误差 1 2 x1 101 p 2 x 0 23156 10 2 则m 2 p 5方法与 1 相同 3 由于sin1 2 0 932039 则x1 9 p 4 1 2算法选择 1 2 1正确性 包含4个方面 1 误差不超过误差限2 收敛于理论解 收敛性 3 及时得出解4 算法稳定 稳定性 1 2算法选择 例1 计算 要求误差限小于10 6 解 根据Taylor展式有 解法一 由余项 截断误差 可有解法二 逐一添加项 比较相邻两次计算结果的差 使满足给定的误差限10 6 1 2算法选择 稳定性 一般地 计算
12、过程中的舍入误差可能会传递和放大 并导致计算结果严重偏离 这种现象称为数值算法的稳定性问题 算法的稳定性与舍入误差的传递过程是密切相关 1 2算法选择 例2 计算 解法一 1 2算法选择 在计算机中编程作数值计算 计算结果见教材P7页表1 1作结果分析 难以符合要求原因分析 1 积分In的特点 In 0 In In 1 In 0 n 2 计算过程中舍入误差的传递和放大过程 1 2算法选择 1 2算法选择 寻找具有数值稳定性的算法 1 2算法选择 例3 计算 1 2算法选择 1 2 2选择低复杂性算法 算法复杂性 通常包括 时间复杂性 运算时间 次数空间复杂性 存储量 存储结构 1 2算法选择 例1 计算多项式的值 解法一 直接按多项式计算 则计算量为 解法二 按秦九韶法计算 迭代计算 1 2算法选择 例2 计算的值 要求误差小于10 5 解法一 用级数公式 解法二 用级数公式 1 2算法选择 1 2 3减少误差的一些办法 习题 P101 2 3 4题
