1、1 第二章Laplace变换 Fourier变换的两个限制 2 1Laplace变换的概念 3 t f t O t f t u t e bt O 4 1 定义 5 例1求单位阶跃函数 根据拉氏变换的定义 有 这个积分在Re s 0时收敛 而且有 6 例2求指数函数f t ekt的拉氏变换 k为实数 这个积分在Re s k时收敛 而且有 其实k为复数时上式也成立 只是收敛区间为Re s Re k 根据拉氏变换的定义 有 7 2 拉氏变换的存在定理若函数f t 满足 1 在t 0的任一有限区间上分段连续 2 当t 时 f t 的增长速度不超过某一指数函数 即存在常数M 0及c 0 使得 f t M
2、ect 0 t 则f t 的拉氏变换 在半平面Re s c上一定存在 并且在Re s c的半平面内 F s 为解析函数 8 M Mect f t t O 9 说明 由条件2可知 对于任何t值 0 t0 即b c e c1 c 则 f t e st Me et 所以 注1 大部分常用函数的Laplace变换都存在 常义下 注2 存在定理的条件是充分但非必要条件 10 2Laplace变换的性质与计算 本讲介绍拉氏变换的几个性质 它们在拉氏变换的实际应用中都是很有用的 为方便起见 假定在这些性质中 凡是要求拉氏变换的函数都满足拉氏变换存在定理中的条件 并且把这些函数的增长指数都统一地取为c 在证明
3、性质时不再重述这些条件 11 例3求f t sinkt k为实数 的拉氏变换 同理可得 12 2 微分性质 此性质可以使我们有可能将f t 的微分方程转化为F s 的代数方程 特别当时 有 13 例4求的拉氏变换 m为正整数 14 象函数的微分性质 例5求 k为实数 的拉氏变换 15 3 积分性质 例6求的拉氏变换 16 象函数积分性质 则 17 18 函数f t t 与f t 相比 f t 从t 0开始有非零数值 而f t t 是从t t开始才有非零数值 即延迟了一个时间t 从它的图象讲 f t t 是由f t 沿t轴向右平移t而得 其拉氏变换也多一个因子e st 19 20 例9求的拉氏变
4、换 21 3Laplace逆变换 前面主要讨论了由已知函数f t 求它的象数F s 但在实际应用中常会碰到与此相反的问题 即已知象函数F s 求它的象原函数f t 本节就来解决这个问题 由拉氏变换的概念可知 函数f t 的拉氏变换 实际上就是f t u t e bt的傅氏变换 22 因此 按傅氏积分公式 在f t 的连续点就有 等式两边同乘以ebt 则 23 积分路线中的实部b有一些随意 但必须满足的条件就是e btf t u t 的0到正无穷的积分必须收敛 计算复变函数的积分通常比较困难 但是可以用留数方法计算 右端的积分称为拉氏反演积分 24 R O 实轴 虚轴 L CR b jR b j
5、R b 解析 25 26 27 4卷积 1 卷积的概念 两个函数的卷积是指 如果f1 t 与f2 t 都满足条件 当t 0时 f1 t f2 t 0 则上式可以写成 28 29 卷积定理 注 卷积公式可用来计算逆变换或卷积 30 例2 31 例3 32 5Laplace变换的应用 对一个系统进行分析和研究 首先要知道该系统的数学模型 也就是要建立该系统特性的数学表达式 所谓线性系统 在许多场合 它的数学模型可以用一个线性微分方程来描述 或者说是满足叠加原理的一类系统 这一类系统无论是在电路理论还是在自动控制理论的研究中 都占有很重要的地位 本节将应用拉氏变换来解线性微分方程 33 微分方程的拉氏变换解法首先取拉氏变换将微分方程化为象函数的代数方程 解代数方程求出象函数 再取逆变换得最后的解 如下图所示 象原函数 微分方程的解 象函数 微分方程 象函数的代数方程 34 例1求解 35 例2求解
