1、2,2018/6/19,两类平面问题：,平面应力问题,平面应变问题,几何特征,受力特征,应力特征,几何特征;,受力特征;,应变特征。,平面问题的平衡微分方程：,（2-2）,说明：,（1）两个平衡微分方程，三个未知量：, 超静定问题，需找补充方程才能求解。,（2）对于平面应变问题，x、y方向的平衡方程相同，z方向自成平衡，上述方程两类平面问题均适用；,（3）平衡方程中不含E、，方程与材料性质无关（钢、石料、混凝土等）；,（4）平衡方程对整个弹性体内都满足，包括边界。,5,2018/6/19,2018/6/19,ZS,1、斜面上的应力,（1）斜面上应力在坐标方向的分量px，py,设P点的应力分量已
2、知：,斜面AB上的应力矢量: p,斜面外法线 N 的关于坐标轴的方向余弦：,由微元体平衡：,整理得：,（2-3）,整理得：,（2-4）,外法线,（2）斜面上的正应力与剪应力,（2-3）,（2-4）,将式（2-3）（2-4）代入，并整理得：,（2-5）,（2-6）,说明：,（1）运用了剪应力互等定理：,（2） 的正负号规定：,将 N 转动90而到达 的方向是顺时针的，则该 为正；反之为负。, 任意斜截面上应力计算公式,（3）若AB面为物体的边界S，则,（2-18）, 平面问题的应力边界条件,2、一点的主应力与应力主向,（1）主应力,若某一斜面上 ，则该斜面上的正应力 称为该点一个主应力 ；,当
3、时，有,求解得：,（2-7）, 平面应力状态主应力的计算公式,p,px,py,主应力 所在的平面 称为主平面；,主应力 所在平面的法线方向 称为应力主向；,由式（2-7）易得：, 平面应力状态应力第一不变量,（2）应力主向,设1 与 x 轴的夹角为1， 1与坐标轴正向的方向余弦为 l1、m1，则,设2 与 x 轴的夹角为2， 2与坐标轴正向的方向余弦为 l2、m2，则,应力主向的计算公式：,（2-8）,由,得,显然有,表明：,1 与 2 互相垂直。,结论,任一点P，一定存在两 互相垂直的主应力1 、 2 。,（3）N 的主应力表示,由,1 与 2 分别为最大和最小应力。,（4）最大、最小剪应力
4、,由,显然，当,时，N为最大、最小值：,由,得，,max、 min 的方向与1 （ 2 ）成45。,小结：, 平面问题的应力边界条件,（1）斜面上的应力,（2-18）,（2-8）,表明：1 与 2 互相垂直。,（2）一点的主应力、应力主向、最大最小应力,（2-7）,max、 min 的方向与1 （ 2 ）成45。,2018/6/19,ZS,建立平面问题中应变与位移的关系,1、几何方程,一点的变形,线段的伸长或缩短；,线段间的相对转动；,考察P点邻域内线段的变形：,变形前,变形后,P,A,B,u,v,注：这里略去了二阶以上高阶无穷小量。,PA的正应变：,PB的正应变：,P点的剪应变：,P点两直角
5、线段夹角的变化,整理得：,几何方程,（2-9）,说明：,（1）,反映任一点的位移与该点应变间的关系，是弹性力学的基本方程之一。,（2）,当 u、v 已知，则 可完全确定；反之，已知 ，不能确定u、v。,（积分需要确定积分常数，由边界条件决定。）,（3）, 以两线段夹角减小为正，增大为负。,2、刚体位移,物体无变形，只有刚体位移。 即：,(a),(b),(c),由(a)、(b)可求得：,(d),将(d)代入(c)，得：,或写成：,上式中，左边仅为 y 的函数，右边仅 x 的函数，两边只能等于同一常数，即,(d),积分(e) ，得：,(e),其中，u0、v0为积分常数。 （x、y方向的刚体位移），代入（d）得:,(2-10), 刚体位移表达式,讨论：,（1）,仅有x方向平移。,（2）,仅有y方向平移。,（3）,r,说明：, P点沿切向绕O点转动, 绕O点转过的角度（刚性转动）,2018/6/19,ZS,斜方向应变公式的应用,（1）,已知一点的应变 ，可计算任意方向的应变 。 的最大值、最小值。主应变、主应变方向等。,（2）,已知一点任意三方向的应变 ，可求得该点的应变分量 。,若 用45应变花测构件表面应变：,若 用120应变花测构件表面应变，即：,求得该点的应变分量:,2018/6/19,ZS,2018/6/19,ZS,下一讲再见！,
