1、1 数字图象处理技术 高等学校规划教材 图像信息研究所 2 主要内容 预备知识 常用信号及特性 傅里叶变换 卷积与相关 线性系统分析视觉特性 图像评价图像数字化原理 图像的表示 采样与量化数字图像的线性处理 二维离散卷积与相关 离散傅氏变换 离散余弦变换 其它可分离变换 图像增强 灰度修改技术 图像平滑与锐化 伪彩色与假彩色图像增强图像压缩编码 统计编码 预测编码 变换编码 国际标准图像恢复与重建 图像退化模型 无约束恢复 有约束恢复 几何失真校正 投影重建 3 主要参考书目 刘榴娣等 实用数学图像处理 北京 北京理工大学出版社 1998 章毓晋 图像处理与分析 北京 清华大学出版社 1999
2、 K R Castleman DigitalImageProcessing PrenticeHall Inc 1996 影印版 清华大学出版社 1998 中译本 电子工业出版社 1998 容观澳 计算机图像处理 北京 清华大学出版社 2000 周新伦 数字图像处理 北京 国防工业出版社 1996 4 目录 预备知识线性系统基本理论第一章图像数字化原理第二章数字图像的线性处理第三章图像增强第四章图像压缩编码第五章图像恢复与重建 5 预备知识 信号与线性系统基础 0 1常用信号及特性0 2傅立叶变换0 3快速傅立叶变换 FFT 0 4卷积与相关0 5线性系统分析 上级目录 6 0 1常用信号及特性
3、 上级目录 0 1 1单位阶跃函数0 1 2单位冲激函数0 1 3二维冲激函数 7 0 1 1单位阶跃函数 定义 单位阶跃函数 是处不连续的符号函数 定义如下 例如 作用 可用来表示一个信号的定义域 用于表示 或定义 单边指数函数 门函数等信号 上级目录 8 0 1 2单位冲激函数 定义 定义 又称狄拉克函数或函数 用表示 它是一种通过积分性质定义的符号函数 定义如下 函数在处面积 或强度 为1 时处处为0 函数可由矩形窄脉冲的极限描述 例子之一 上页 9 0 1 2单位冲激函数 性质 取样概念 上页 取样是基于函数的一个重要概念 2 卷积性质 下列积分定义为函数与的卷积 10 0 1 2单位
4、冲激函数 性质 卷积服从交换律 3 偶函数 简单证明 上页 函数与的卷积是自身 进一步有 11 0 1 2二维冲激函数 定义 上页 定义 一般地 定义在处的二维冲激函数为 当时 12 0 1 2二维冲激函数 性质 推广 记作 性质 上页 13 0 1 2二维冲激阵列 二维冲激阵列 在图像数字化中 该阵列又称 冲激采样阵列 S x y 是 x y 平面内无穷个相距 的冲激函数组成的阵列 其中 为空间取样间隔 上级目录 14 0 2 1连续信号的傅立叶变换0 2 2周期信号的傅立叶变换0 2 3一维离散傅立叶变换 DFT 0 2傅立叶变换 上级目录 15 0 2 1连续信号的傅立叶变换 1 上页
5、1 非周期信号的一维傅里叶变换 定义 反变换 傅氏变换存在的条件 正变换 傅氏变换是一种积分变换 定义如下 充要条件 绝对可积 即 16 0 2 1连续信号的傅立叶变换 2 物理意义 一般为复函数 可表示为 其中 模相位 若为实函数 则是的偶函数 是的奇函数 这时反变换可写成 解释 17 0 2 1连续信号的傅立叶变换 3 反变换 定义 二维傅氏变换定义如下 变换对 其中 空间坐标变量 沿轴方向的空间频率分量 正变换 上页 2 二维连续傅里叶变换 对u v的理解 18 0 2 2周期信号的傅立叶变换 设一维周期信号 周期 角频率 其傅氏级数 指数形式 为 其中 傅氏系数 一般为复数 可进一步表
6、示为 为的振幅频谱 离散谱 为的相位频谱 上页 19 0 2 2周期信号的傅立叶变换 现对级数展开式两边取傅氏变换 可以证明 最后得到 例题 求周期冲激序列的傅氏变换 例题 20 0 2 3一维离散傅氏变换 DFT 正变换 反变换 变换对 定义 设为N点一维离散函数 离散实变量定义一维离散傅里叶变换 上页 21 0 2 3一维离散傅氏变换 DFT 一般为复函数 可以写成 或 上页 的傅里叶相位函数 22 0 3 1FFT的必要性0 3 2FFT的基本思想0 3 3基2按时间抽取算法0 3 4算法特点0 3 5其他快速算法 0 3快速傅立叶变换 FFT 上级目录 23 0 3 1FFT的必要性
7、返回 DFT运算量 设也为复函数 并将写成如下形式 计算个值 实乘次 实加次 设 n为正整数 权函数 复数 则DFT可表示为 24 0 3 2FFT的基本思想 上页 将长度为N的离散序列逐次分解为若干短序列 计算各短序列的DFT 再进一步组合为N点DFT N点序列 N 2点序列 2点序列 N点DFT 分解 组合 25 0 3 2FFT的基本思想 上页 在实现FFT过程中 权函数WN起着重作用 WN的主要特性 权函数WN的周期性是导出FFT算法的一个关键因素 N的高复合性是实现FFT算法的一个重要条件 周期性 对称性 26 0 3 3基 2时间抽取算法 上页 对N点序列f x 进行奇 偶分解并求
8、N 2点DFT 分解与变换由奇 偶子序列计算F u 其中u 0 1 N 2 1 另一半N 2点DFT计算F u N 2 由两个N 2点DFT组合为一个N点DFT 组合将F u 和F u N 2 组合为N点DFT 举例设N 8 由两个4点DFT组合成8点DFT 继续奇 偶分解 直至计算2点DFT为止 再分解对N 2点 N 4点 序列继续奇 偶分解并求DFT 2点DFT一个2点DFT直接为两个输入值的蝶形运算 综合例 N 8点FFT流程图 蝶形组合图 27 0 3 4算法特点 一次蝶形运算1次2次 N点DFT总运算量 直接运算 同址计算 输入数据与每级运算结果可共用存储单元 新数 冲 老数 整序
9、输入序列以 乱序 方式存入存储单元 因奇 偶分解所致 输出按自然顺序排列 可直接按序输出 必须对输入数据进行整序处理 即由自然序变成 奇 偶序 上页 28 0 3 5其他快速算法 返回 基 2频率抽取法 任意基数的FFT算法 将输入序列分为前后两部分 然后对进行奇 偶分解 其它方法同时间抽取法 单位阶跃函数的作用 门函数 宽度为 幅度为1的矩形脉冲 单位阶跃函数表示 或定义 单边指数函数 门函数 单边指数函数 返回 矩形窄脉冲的极限 矩形窄脉冲的极限 例子之一 返回 取样概念 单点取样 周期取样 利用周期冲激序列实现周期取样 返回 定义周期性冲激序列 Ts取样周期 的偶对称性 由于 返回 而由
10、的取样性质 比较以上二式可得 傅里叶变换的物理意义 返回 结论 一个非周期信号 可以分解为无穷多个不同频率的正 余 弦分量之和 其中 称为的频谱函数 称为的相位函数 变量u v的意义 下页 其中 出现最大值的位置是 过坐标原点的一条直线 与 x y 轴截距为的一条直线 由于 变量u v的意义 下页 对 对 根据 式中 OA 空间周期 空间频率 设两条平行线之间的距离为OA 当取不同值时 可得到 x y 坐标中无限条平行直线 变量u v的意义 返回 由此得到 x轴空间周期分量 u x轴空间频率分量 y轴空间周期分量 v y轴空间频率分量 应为的空间频谱 这说明 是由无穷个空间频率的二维正弦分量组
11、合而成 即为各正弦分量的幅度 例题 周期信号的傅氏变换 下页 例题 求周期冲激序列的傅氏变换 解 已知 其中傅里叶系数 例题 周期信号的傅氏变换 返回 令 最后得到 可见 的傅氏变换仍是周期序列 其频域周期和强度均为 FT WN的周期性 返回 例如 N 8 下页 WN的对称性 返回 例如 N 8 序列的奇 偶分解与变换 下页 其中 注 为简化计算 式中暂不计入系数 1 N 奇 偶子序列的DFT 返回 F u 是奇 偶两个子序列变换G u 与H u 的加权和 结果 下页 计算另一半N 2点DFT 返回 由于 计算 下页 两个N 2点DFT组合一个N点DFT 返回 两次复乘 一次复乘 计算流程 蝶
12、形运算 下页 N 8 两个4点DFT的组合 返回 例 设N 8 由两个4点DFT组合成8点DFT流程图 下页 N 2点分解为两个N 4点 返回 设N 8 对G u 的分解计算过程如下 每个N 2点DFT分解为两个N 4点DFT 下页 2点DFT直接表示为一个基本的蝶形运算 2点DFT 基本的蝶形运算 返回 下页 N 8点FFT流程图 返回 综合 N 8点FFT流程图 输入整序 码位倒置 自然序号二进制表示倒置二进码码位倒置顺序0000000010011004201001023011110641000011510110156110011371111117 用二进制数表示时 输入数据序号 正是 码位倒置 的结果 返回
