1、2020 4 26 1 第9章差错控制编码 9 1概述9 2常用的几种简单分组码9 3线性分组码9 4循环码9 5纠正和检测突发错误的分组码9 6卷积码 2020 4 26 2 本章内容目的要求 教学要求 了解差错控制编码的基本方法和基本原理 掌握线性分组码的一般构造原理及汉明码 循环码 卷积码的概念 理解 序列的产生原理 性质及数字加密的概念 内容提要 差错控制的基本方式及信道编码的概念 检错码 线性分组码 卷积码 m序列 数字加密基本方法介绍 重点 汉明码的生成矩阵 监督矩阵的计算 循环码的生成矩阵 监督矩阵的计算 难点 卷积码的原理 2020 4 26 3 9 1概述 9 1 1信道编码
2、信元编码 为了提高数字信号传输的有效性而采取的编码 信道编码 为了提高数字通信的可靠性而采取的编码 信道编码方法 在信息序列上附加上一些监督码元 发现和纠正错误 2020 4 26 4 9 1 2差错控制方式 2020 4 26 5 1 检错重发方式 检错重发 ARQ 的优点主要表现在 1 只需要少量的冗余码 就可以得到极低的输出误码率 2 有一定的自适应能力 某些不足主要表现在 1 需要反向信道 故不能用于单向传输系统 并且实现重发控制比较复杂 2 通信效率低 不适合严格实时传输系统 2020 4 26 6 2 前向纠错发送端经信道编码后可以发出具有纠错能力的码字 接收端译码后不仅可以发现错
3、误码 而且可以判断错误码的位置并予以自动纠正 3 混合纠错方式混合纠错方式是前向纠错方式和检错重发方式的结合 2020 4 26 7 9 1 3纠错编码的分类 1 按照信道编码的不同功能 可以将它分为检错码和纠错码 2 按照信息码元和监督码元之间的检验关系 可以将它分为线性和非线性码 3 按照信息码元和监督码元之间的约束方式不同 可以将它分为分组码和卷积码 4 按照信息码元在编码后是否保持原来的形式 可以将它分为系统码和非系统码 2020 4 26 8 5 按照纠正错误的类型不同 可以将它分为纠正随机错误码和纠正突发错误码 随着数字通信系统的发展 可以将信道编码器和调制器统一起来综合设计 这就
4、是所谓的网格编码调制 9 1 4纠错编码的基本原理1 分组码表示为 n k n表示码组的长度 k信息的长度 r n k表示监督位长度 几个概念 2020 4 26 9 码长 码字中码元的数目 码重 码字中非0数字的数目 码距 两个等长码字之间对应位不同的数目 有时也称作这两个码字的汉明距离 最小码距 在码字集合中全体码字之间距离的最小数值 纠错码的抗干扰能力完全取决于许用码字之间的距离 码的最小距离越大 说明码字间的最小差别越大 抗干扰能力就越强 2020 4 26 10 分组码的最小汉明距离为d02 检错和纠错能力 1 当码字用于检测错误时 如果要检测e个错误 则d0 e 1 2 当码字用于
5、纠正错误时 如果要纠正t个错误 则d0 2t 1 3 若码字用于纠t个错误 同时检e个错误时 e t 则d0 t e 1 2020 4 26 11 编码效率Rc可以用下式表示 2020 4 26 12 9 2常用的几种简单分组码 9 2 1奇偶监督码可以表示成为 n n 1 如果是奇监督码 在附加上一个监督元以后 码长为n的码字中 1 的个数为奇数个 如果是偶监督码 在附加上一个监督元以后 码长为n的码字中 1 的个数为偶数个 an 1 an 2 a1 a0 0 2020 4 26 13 奇偶监督码的编码可以用软件实现 也可用硬件电路实现 如果码组B无错 B A 则M 0 如果码组B有单个 或
6、奇数个 错误 则M 1 编码效率 R n 1 n 2020 4 26 14 9 2 2行列监督码行列监督码又称水平垂直一致监督码或二维奇偶监督码 有时还被称为矩阵码 2020 4 26 15 二维奇偶监督码适于检测突发错码 二维奇偶监督码不仅可用来检错 还可用来纠正一些错码 9 2 3恒比码恒比码又称等重码 该码的码字中1和0的位数保持恒定的比例 具体情况见表9 2 1 目前我国电传通信中普遍采用3 2码 国际上通用的ARQ电报通信系统中 采用3 4码即7中取3码 2020 4 26 16 9 3线性分组码 9 3 1基本概念分组码是一组固定长度的码组 可表示为 n k 通常它用于前向纠错 在
7、编码时 k个信息位被编为n位码组长度 而n k个监督位的作用就是实现检错与纠错 这样 一个k比特信息的线性分组码可以映射到一个长度为n码组上 2020 4 26 17 线性分组码的主要性质如下 1 任意两许用码之和仍为一许用码 也就是说 线性分组码具有封闭性 2 码组间的最小码距等于非零码的最小码重 对偶校验时的监督关系 在接收端解码时 实际上就是在计算 S bn 1 bn 2 b1 b0若S 0 则无错 若S 1就认为有错 2020 4 26 18 以 7 4 码为例进行分析 可以设码字A a6 a5 a4 a3a2 a1 a0 其中 a6 a5 a4 a3 为信息位 a2 a1 a0 为监
8、督位 进而得到下面的方程组形式 不难看出 上述 7 4 码的最小码距dmin 3 2020 4 26 19 9 3 2监督矩阵H和生成矩阵G将 7 4 码的三个监督方程式可以重新改写为如下形式 上式可以记作 HAT 0T或AHT 0 其中 2020 4 26 20 也可以用矩阵形式来表示 或表示成为 这时Q PT 如果在Q矩阵的左边在加上一个k k的单位矩阵 就形成了一个新矩阵G 2020 4 26 21 这里G称为生成矩阵 利用它可以产生整个码组 9 3 3校验子S设发送组码A 在传输过程中有可能出现误码 这时接收到的码组为B 则收发码组之差为 2020 4 26 22 其中 则接收端利用接
9、收到的码组B计算校正子 S BHT A E HT AHT EHT EHT因此 校正子仅与E有关 即错误图样与校正子之间有确定的关系 汉明码就是一个线性分组码 有以下特点 1 最小码距dmin 3 可纠正一位错误 2 码长n与监督元个数r之间满足 2020 4 26 23 9 4循环码 循环码是线性分组码的一个重要子集 是目前研究得最成熟的一类码 它有许多特殊的代数性质 特点 循环码中任一许用码组经过循环移位后 所得到的码组仍然是许用码组 描述 许用循环码A an 1an 2 a1a0 可以将它的码多项式表示为 2020 4 26 24 若一个整数m可以表示为 则在模n运算下 有m p 模n 同
10、样对于多项式而言 则可以写为 F x R x 模N x 在循环码中 若A x 是一个长为n的许用码组 则在按模运算下 亦是一个许用码组 2020 4 26 25 9 4 1生成多项式及生成矩阵循环码中次数最低的码多项式称为生成多项式 用g x 表示 可以证明生成多项式g x 具有以下特性 1 g x 是一个常数项为1的次多项式 2 g x 是的一个因式 3 该循环码中其它码多项式都是g x 的倍式 2020 4 26 26 为了保证构成的生成矩阵G的各行线性不相关 通常用g x 来构造生成矩阵 显然 上式不符合形式 所以此生成矩阵不是典型形式 因此 一旦生成多项式g x 确定以后 该循环码的生
11、成矩阵就可以确定 2020 4 26 27 9 4 2监督多项式及监督矩阵利用循环码的特点来确定监督矩阵H 由于 n k 循环码中g x 是xn 1的因式 因此可令 监督矩阵表示为 其中 2020 4 26 28 9 4 3编码方法和电路1 编码过程首先需要根据给定循环码的参数确定生成多项式g x 然后 利用循环码的编码特点 即所有循环码多项式A x 都可以被g x 整除 来定义生成多项式A x 下面就将以上各步处理加以解释 1 用xn k乘m x 这一运算实际上是把信息码后附加上 n k 个 0 2020 4 26 29 2 求R x 由于循环码多项式A x 都可以被g x 整除 也就是 上
12、式也等效于 这样我们就得到了R x 3 编码输出系统循环码多项式A x 为 2020 4 26 30 上述三步编码过程 在硬件实现时 可以利用除法电路来实现 9 4 4译码方法和电路循环码的译码可以分三步进行 1 由接收到的码多项式B x 计算校正子 伴随式 多项式S x 2020 4 26 31 2 由校正子S x 确定错误图样E x 3 将错误图样E x 与B x 相加 纠正错误 2020 4 26 32 9 4 5BCH码特点 它的生成多项式g x 与最小码距之间有密切的关系 可以根据所要求的纠错能力t 很容易地构造出BCH码 相关知识 本原多项式的定义 1 f t 为既约多项式 2 f
13、 t 是 xp 1 因子 p 2n 1 3 f t 不是 xq 1 的因子 p q 2020 4 26 33 9 5纠正和检测突发错误分组码 9 5 1交错码9 5 2Fire码9 5 3RS码 2020 4 26 34 9 6卷积码 卷积码中编码后的n个码元不仅与当前段的k个信息有关 而且也与前面 N 1 段的信息有关 编码过程中相互关联的码元为nN个 因此 这N段时间内的码元数目nN通常被称为这种码的约束长度 由于与前面m段规定时间内的信息位有关 这里的m N 1通常用 n k m 表示卷积码 2020 4 26 35 例如 卷积码的n 2 k 1 m 2 因此 它的约束长度nN n m 1 2 3 6 2020 4 26 36 假如输入的信息为D 11010 为了使信息D全部通过移位寄存器 还必须在信息位后面加3个零 表列出了对信息D进行卷积编码时的状态 描述卷积码的方法 图解表示和解析表示 卷积码的译码方法可分为代数译码和概率译码两大类 2020 4 26 37 作业
