1、第二章线性规划建模及其单纯形法 2 解 设x1为第一年的投资 x2为第一年的保留资金 x1 x2 100 某投资公司在第一年有100万元资金 每年都有如下的投资方案可供考虑采纳 假使第一年投入一笔资金 第二年又继续投入此资金的50 那么到第三年就可回收第一年投入资金的一倍金额 投资公司要设法决定最优的投资策略使第六年所掌握的资金最多 第二年 x3为第二年新的投资 x4 第二年的保留资金 投资问题 3 第三年 x5为新的投资 x6 第三年的保留资金 第四年 新的投资x7 第四年的保留资金x8 第五年 x9为第五年的保留资金 第五年不再进行新的投资 因为这笔投资要到第七年才能回收 约束条件保证每年
2、满足如下的关系 追加投资金额 新投资金额 保留资金 可利用的资金总额 4 到第六年实有资金总额为x9 2x7 整理后得到下列线性规划模型 maxZ 2x7 x9 5 Maxz 1500 x1 2500 x2s t 3x1 2x2 x3 65 A 2x1 x2 x4 40 B 3x2 x5 75 C x1 x2 x3 x4 x5 0用 D E F G H 分别表示x1 0 x2 0 x3 0 x4 0 x5 0这里一共有8个约束条件 其中3个等式约束 例 解多元线性规划问题 6 一般情况下 等式约束的个数少于决策变量的个数 5个变量非负约束 与决策变量个数相同 每5个方程若线性无关可解得一个点
3、我们可以看到前例图解法得到的区域中每两条直线的交点与此例的各个方程有如下关系 见下图 7 平面上各不等式约束半平面得交点 8 由上图可知 A B交点对应于x3 0 x4 0 在等式约束中令x3 0 x4 0 得到x1 15 x2 10 x5 45 即A B交点对应于极点x x1 x2 x3 x4 x5 T 15 10 0 0 45 T 直线A B的交点对应于约束条件 A B C F G 的解 即 x 1 15 10 0 0 45 T上图各约束直线的交点是由以下方法得到 在标准化的等式约束中 令其中某两个变量为零 得到其它变量的唯一解 这个解就是相应交点的坐标 9 直线A C的交点对应于约束条件
4、 A B C F H 的解 即 x 2 5 25 0 5 0 T直线A D的交点对应于约束条件 A B C D F 的解 即 x 3 0 32 5 0 7 5 22 5 T 10 直线A E的交点对应于约束条件 A B C E F 的解 即 x 4 65 3 0 0 10 3 75 T直线B C的交点对应于约束条件 A B C G H 的解 即 x 5 7 5 25 7 5 0 0 T直线B D的交点对应于约束条件 A B C D G 的解 即 x 6 0 40 15 0 45 T 11 直线B E的交点对应于约束条件 A B C E G 的解 即 x 7 20 0 5 0 75 T直线C D
5、的交点对应于约束条件 A B C D H 的解 即 x 8 0 25 15 15 0 T直线C E无交点 C E相互平行 直线D E的交点对应于约束条件 A B C D E 的解 即 x 9 0 0 65 40 75 T 12 如果某一交点的坐标 x1 x2 x3 x4 x5 T全为非负 则该交点就对应于线性规划可行域的一个极点 如A B A C B E C D和D E的交点 如果某一交点的坐标中至少有一个分量为负值 如A D A E B C和B D的交点 则该交点不是可行域的极点 13 由上图可知 A B交点对应于x3 0 x4 0 在等式约束中令x3 0 x4 0 得到x1 15 x2 10 x5 45 即A B交点对应于极点x x1 x2 x3 x4 x5 T 15 10 0 0 45 T 由于所有分量都为非负 因此A B交点是可行域的极点 又知 B C交点对应于x4 0 x5 0 在等式约束中令x4 0 x5 0 得到x1 7 5 x2 25 x3 7 5 即B C交点对应于点x x1 x2 x3 x4 x5 T 7 5 25 7 5 0 0 T 由于有负分量 因此B C交点不是可行域的极点 我们同样可以讨论其他交点的情况
