1、5等参单元与数值积分 第2节四结点四边形等参数单元 InstituteofMechanicalEngineeringandAutomation 第1节概述 第3节数值积分 第4节小结 前面介绍的三角形单元和四面体单元 其边界都是直线和平面 对于结构复杂的曲边和曲面外形 只能通过减小单元尺寸 增加单元数量进行逐渐逼近 这样 自由度的数目随之增加 计算时间长 工作量大 另外 这些单元的位移模式是线性模式 是实际位移模式的最低级逼近形式 问题的求解精度受到限制 为了克服以上缺点 人们试图找出这样一种单元 一方面 单元能很好地适应曲线边界和曲面边界 准确地模拟结构形状 另一方面 这种单元要具有较高次的
2、位移模式 能更好地反映结构的复杂应力分布情况 即使单元网格划分比较稀疏 也可得到较好的计算精度 等参数单元 等参元 就具备了以上两条优点 因此 得到广泛应用 第1节概述 概述 第1节概述 用直边单元离散曲边的求解域势必要用更多的单元数才能较准确地描述实际边界 本章将要介绍的等参元 IsoparametricElement 是目前应用最广的一类单元 可用这类单元更精确的描述不规则的边界 等参数单元在构造形函数时首先定义一个规则的母体单元 参考单元 标准单元 在母体单元上构造形函数 再通过等参数变换将实际单元与母体单元联系起来 变换涉及两个方面 几何图形的变换 坐标变换 和位移场函数的变换 母单元
3、的位移模式 由于两种变换均采用了相同的函数关系 形函数 和同一组结点参数 故称其为等参变换 概述 InstituteofMechanicalEngineeringandAutomation 采用等参数单元的意义 1 找到结构物实际变形的模式 然后取与实际变形模式一致的单元离散结构物 2 从三角形单元到矩形单元 随着单元位移函数中变量幂次的增加则单元内应力位移的计算精度提高 所以就需要找一些高阶的多项式作为单元的位移模式建立新的单元 常用的多项式是根据杨辉三角形的次序建立的 3 由于项数取得多就必须增加单元的自由度 即增加单元节点 于是就出现了等参数单元 等参元的基本思想 首先导出关于局部坐标系
4、的规整形状的单元 母单元 的高阶位移模式的形函数 然后利用形函数进行坐标变换 得到关于整体坐标系的复杂形状的单元 子单元 这种子单元的位移函数插值公式与位置坐标变换式都用相同的形函数与结点参数进行插值 称其为等参元 每一种等参数单元有二种形式 一种形式在局部座标 或 中 是以边长为2的正方形单元或边长为2的立方体单元用作计算称为母单元 另一种形式在整体座标xy或xyz中 通过母单元映射到整体座标上的单元用于离散结构物称为子单元 由于母单元上的位移函数与座标变换的函数具有相同的参数 这就是等参数单元名称的来由 母单元的位移函数 座标变换的映射关系 等参数单元 5 2 1四边形四节点等参数单元 其
5、中 母单元 第2节四结点四边形等参数单元 若以母单元上12边为例 通过映射可得在平面内任一直线 12边的方程为 1 代入 通过局部座标与整体座标的映射关系把母单元变换到整体座标上成为一个任意四边形用于离散结构物 它能适合于任意曲边的形状 四边形四节点单元位移模式 同理可得 把以参数 代表的x方程和y方程消去 则得x y所组成的直线方程y kx b所以母单元上的四个边都可以通过映射在x y座标面上得出一个任意四边形 用该四边形离散结构物 四边形四节点单元的应变 i 1 2 3 4 其中 其中 第八章等参数单元 由于形函数N是x y的函数 现对 求导 这是复合函数求导 把上二式写成矩阵形式 其中
6、称为雅可比 Jacobian 矩阵为了把 Bi 矩阵中的Ni x和Ni y化成Ni 和Ni 则代入下式 其中雅可比矩阵的逆阵由下式给出 也可把形函数Ni对的 偏导数写成通式 i 1 2 3 4 四边形四节点单元的应力 对于平面应力情况 四边形四节点单元的刚度矩阵 K e K e可划分成四行四列的子矩阵 i j 1 2 3 4 对于平面应力情况 等效节点力计算 1 集中力的等效节点力 由于计算复杂 把有集中力处设置为节点 2 体枳力的等效节点力 展开后 i 1 2 3 4 单元上某一点的节点力 由于表面力的运算是曲线积分 所以常把qx qy化成切线 展开后 单元上某一点的节点力 i 1 2 3
7、4 3 表面力的等效节点力 第八章等参数单元 把用 表示qx qy的代入 i 1 23 4 若以母单元上的34边为例 则 1 i 3 4 求解是否收敛还需看位移函数是否满足三个条件 位移函数中包含有刚体位移位移函数中包含有常应变位移函数内部连续和边界协调由于刚体位移和常应变状态可写成下列形式 第八章等参数单元 5 2 2等参数单元的收敛性 但上二式可化成下式 根据形函数的性质 Ni 1 第八章等参数单元 所以构成的位移函数包含刚体位移和常应变多项式在单元内部无奇异点 所以连续 相邻单元的边界上可由线上节点座标唯一确定 而母单元相邻边界都是直线 且形函数相同 所以交界线上的位移由节点位移唯一确定
8、 相邻单元连续 则上二式都化成 第3节数值积分 问题的提出 InstituteofMechanicalEngineeringandAutomation 第3节数值积分 数值积分方法 InstituteofMechanicalEngineeringandAutomation 第3节数值积分 数值积分方法 InstituteofMechanicalEngineeringandAutomation 现将常见的高斯点坐标和权系数列成下表 第3节数值积分 数值积分方法 第3节数值积分 有限元解的误差 InstituteofMechanicalEngineeringandAutomation 第3节数值积
9、分 有限元解的误差 InstituteofMechanicalEngineeringandAutomation 等参数单元 等参元具有以下优点 1 可以模拟曲线和曲面边界 适用于处理各种复杂边界条件 2 这种单元具有较高次的位移模式 能更好地反映结构的复杂应力分布情况 计算精度较好 3 推导过程具有通用性 一维 二维和三维的推导方法基本相同 4 应用范围广 在平面和空间连续体 杆系结构和板壳问题中都可应用 5 可以灵活的增减结点 容易构造各种过渡单元 第4节小结 小结 InstituteofMechanicalEngineeringandAutomation 等参数单元是目前应用最广的一类单元 它的边可直可曲 精度可高可低 由于采用数值积分 处理材料非线性问题不会遇到新的困难 鉴于这些优点 在一些通用分析程序中 等参元成为处理二阶问题的主要单元 尤其是裂纹等奇异元构造中 通常采用等参单元 但等参数单元也有它的不足之处 精度和计算量之间在存着矛盾 在二维情况下 结点个数取到20单元才有较满意的适应能力 而这时计算量往往相当可观 解决这一矛盾的办法是探索新型单元 如非协调元 理性单元 样条单元等等就是其中的一类
