1、第三章振动和波 机械振动 物体在一定位置附近做来回往复的运动波动 振动状态的传播波动可分为三大类 机械波电磁波物质波 第一节简谐振动 线性回复力 物体在运动时 所受到的大小与它的位移的大小成正比 而方向与位移的方向相反的力简谐振动 物体在线性回复力的作用下所作的振动 一 简谐振动方程1 SHM的动力学描述以弹簧振子的振动为例 当物体位移为x时 振子所受到的弹性力F满足F kxF为线性回复力 2 SHM的运动学描述根据牛顿第二定律 弹簧振子的运动方程满足 式中 解微分方程得 振幅A 表示质点离开平衡位置最大位移的绝对值相位 决定质点在t时刻的运动状态的重要物理量 初相位 表示t 0时刻的相位 角
2、频率 也称圆频率 其反映质点振动的快慢 二 简谐振动的矢量图表示法 三 简谐振动的能量以弹簧振子为例 第二节阻尼振动 受迫振动和共振一 阻尼振动1 阻尼振动 振幅随时间减小的振动2 运动方程在物体速度不太大时 阻力与速度大小成正比 方向相反 即 令 3 讨论 1 当阻尼较小 时 微分方程为 2 当阻尼较大 时 微分方程为 3 当时 微分方程为物体刚好不作周期性运动 会很快地回到平衡位置并停止下来 其称为临界阻尼 二 受迫振动1 受迫振动 振动系统所受到的力除弹性力和阻力之外还有一个周期性外力的持续作 此时系统发生的振动称为受迫振动 这种周期性的外力称为强迫力 2 振动方程 三 共振1 共振 振
3、动系统作受迫振动时 改变强迫力的角频率p使其振幅达到极大值的现象 2 共振角频率 发生共振时的角频共振时振幅为 第三节振动的合成与分解一 两个同方向同频率简谐振动的合成两个同频率同方向的简谐振动运动方程为 利用旋转矢量求出合振动位移x的表示式 讨论 1 若相位差则2 若相位差则 二 两个同方向频率相近的简谐振动合成考察两种频率很大而频率差很小的简谐振动所合成的振动 设两简谐振动的振幅相同 初相位都为零 它们的振动方程分别为 当两振动合成时 合振动的位移为 由上式可以看出 合振动的频率为 振幅为 所以合振动的振幅随时间作缓慢的周期性变化 这种合振动的振幅时而加强 时而减弱的现象称为拍 合振幅变化
4、的频率称为拍频 由于余弦函数的绝对值是以 为周期的 所以有合振幅变化的周期因为所以合振幅变化的频率 即拍频得 三 相互垂直的同频率的简谐振动的合成设两个相互垂直的频率相同的简谐振动 它们的振动方程为 将上两式中的t消去 得到合振动的轨迹方程 讨论 1 即两分振动的初相位相同得 2 即两分振动的相位差为 2得 第四节波动的基本规律一 波的产生与描述振动在空间的传播过程叫做波动常见的波有 机械波 电磁波 机械波 机械振动在弹性介质中的传播过程1 产生条件 波源媒质2 弹性波 机械振动在弹性媒质中的传播横波 振动方向与波的传播方向垂直纵波 振动方向与波的传播方向平行 3 简谐波 波源作简谐振动 在波
5、传到的区域 媒质中的质元均作简谐振动 波面 某一时刻振动相位相同的各点所联成的面 平面波 波振面是平面的波动球面波 波振面是球面的波动波线 沿波传播方向所作的射线 二 波的基本特征量1 波长 两相邻同相点间的距离2 波的频率 媒质质点 元 的振动频率即单位时间传过媒质中某点的波的个数3 波速u 单位时间波所传过的距离波速 又称相速度 相位传播速度 三 平面简谐波的波动方程平面简谐波 当波源作简谐振动并沿一维方向传播 引起各质点都做简谐振动时所形成的波 它是一种最简单 最基本的波 设原点O处的质点在任一时刻t的位移 振动方程 为 因为 假设 媒质无吸收 质元振幅均为A 则振动从O点以波速u传播到
6、P点需要x u的时间 即P点在时刻t的位移等于O点在时刻 t x u 的位移 因此 P点在任意时刻t的位移为 如果波沿Ox轴负方向传播 则P点的振动比O点早开始一段时间x u 即O点振动了t时间 P点已经振动了 t x u 的时间 即P点在任一时刻t的位移为 讨论 1 当x一定 y仅为时间t的函数 此时波动方程表示距原点为x处的给定点的振动情况 2 当t一定时 则y仅为x的余弦函数 此时 波动方程表示给定时刻各质点的位移y的分布情况 3 当t和x都变化时 波动方程表示在任意时刻波线上任意点的位移情况 所以也可以说波动方程描述了波的传播 第五节波的能量与波的衰减一 波的能量振动动能形变势能 波的
7、能量设简谐波在密度为 的弹性介质中传播其传播中体积元的其振动动能为弹性势能为 体积元的总能量为其动能和势能之和 能量密度w 单位体积介质中的波动能量 平均能量密度 能量密度在一个周期内的平均值 二 能流和能流密度 能流 单位时间内通过介质中某一面积的能量平均能流 在单位时间内通过S的能量等于体积uS中的平均能量 因此 通过面积S的平均能流为 能流密度 单位时间内通过垂直于波的传播方向的单位面积上的平均能量 又称波的强度 即 三 波的衰减原因 吸收衰减 由于弹性介质存在内摩擦等原因 波的能量随传播距离的增加而逐渐转化为其他形式的能量 扩散衰减 由于波的散射 反射 发散等原因 虽然波整体的能量不减
8、少 但能量的分布面积增加 因而强度降低 1 平面简谐波在各向同性的介质中传播的衰减规律 由实验得 波在该介质层上强度的相对减弱量 dI I与介质层厚度dx成正比 即 为介质的吸收系数 它与波的频率和介质的性质有关 将上式积分 并将代入得此式称为比尔 朗伯定律 根据波的强度与其振幅平方成正比关系 x轴上坐标为x处质元的振幅A与坐标原点处质元的振幅为满足所以 实际上平面简谐波在介质中的波动方程应为 2 球面简谐波在各向同性介质中传播的规律设该球面波在其半径为r1和r2处的强度分别为I1和I2 其对应的振幅分别为A1和A2 若不考虑介质的吸收 则单位时间通过两球面的能量必然相等 即 此公式为反平方定
9、律 由波的强度与其振幅的平方成正比得 所以对于球面波来说 波的振幅与到球心的距离成反比 若设离球心的距离为单位长度时其振幅为A0 则球面波的波动方程为 第六节波的叠加和干涉 一 惠更斯原理介质中波动传播到的各点 都可以看作是发射子波的波源 任意时刻这些子波的包络就是新的波前 这就是惠更斯原理 二 波的干涉1 叠加原理 在相遇区域内 任一点的振动 为各列波所引起的振动的矢量和 在相遇后各列波仍保持它们各自原有的特性 频率 波长 振幅 振动方向等 不变 按照各自原来的方向继续传播 好象在行进过程中没有遇到其它波一样 2 相干波 频率相同 振动方向相同 相位相同或相位差恒定的两列波 相干波源 相干波
10、的波源干涉现象 两列相干波相遇时 使某些地方振动始终加强 而在另一些地方振动始终减弱的现象 设两相干波源S1 S2都作简谐振动 其振动方程分别为 若两列波在同一介质中传播 分别经过r1 r2距离在空间某一点P相遇 则这两列波在P点引起的分振动为 根据波的叠加原理 P点的合振动为这两个分振动的合成 即 合振动仍是简谐振动 式中A为合振动的振幅 为合振动的初相位 因为两相干波在P点所引起的两分振动的相位差为一恒量 所以干涉的结果使空间各点的振幅始终不变 即 合振动的振幅最大 其值为A A1 A2 合振动的振幅最小 其值为A A1 A2 如果 并令 r2 r1表示两相干波从各自的波源到达P点时所经过
11、的波程差 则 合振动的振幅最大 合振动的振幅最小 三 驻波设有两振幅相同 频率相同的简谐波 分别沿Ox轴正方向和负方向传播 在原点处 它们的相位相同 则其波动方程分别为 在两波相遇处各点的位移为两波各自位移的叠加 即 应用三角关系 得驻波方程 从方程中可见 当弦线上形成驻波时 弦线上各点都在作振幅为 频率为的简谐振动 各点振幅随着离原点的距离x不同而异 讨论 1 波节 因为弦线上各点作振幅为的简谐振动 所以x满足的各点振幅为零 这些点始终静止不动为波节 2 波腹 当x满足的各点振幅最大 等于2A 这些点振动最强 3 在每一时刻 驻波各点以确定的振幅在各自的平衡位置附近振动 因此称为驻波 在驻波状态下 各质点达到最大位移时 速度均为零 即动能为零 驻波的能量以动能形式集中于波腹附近 驻波中没有能量的定向传播 只有波腹附近的动能和波节附近的势能之间的跃动和转换
