1、6 5 202011 17AM DerenChen ZhejiangUniv 1 7 1图的概念 IntroductionofGraph7 2图的术语 GraphTerminology7 3图的表示与同构 RepresentingGraphandGraphIsomorphism7 4连通性 Connectivity7 5欧拉道路与哈密尔顿道路 EulerandHamiltonPaths7 6最短道路问题 ShortestPathProblem7 7平面图 PlanarGraphs7 8图的着色 GraphColoring 6 5 202011 17AM DerenChen ZhejiangUn
2、iv 2 平面图 PlanarGraphs 定义 平面图 图 如果 中边除了在 中顶点处可以相交 在其他地方都可以不相交 则 称为平面图 Planar 其画法称为图的平面表示 PlanarRepresentation 下面的图A 图B看上去有边相交的 但改画一下得A B 就知是平面图 但对C D两图 无论如何改画 也无法使所有的边不相交 6 5 202011 17AM DerenChen ZhejiangUniv 3 6 5 202011 17AM DerenChen ZhejiangUniv 4 6 5 202011 17AM DerenChen ZhejiangUniv 5 图 称为三管道
3、图 表示三个源 三个目的地 每个源与每个目的地都有通路 6 5 202011 17AM DerenChen ZhejiangUniv 6 图 是 个顶点的完全图 非平面图 6 5 202011 17AM DerenChen ZhejiangUniv 7 定义 区域 region被平面图中回路分割成互不重叠的连通块 这些块称为区域 Region 1 如果不存在回路 整个平面只有一个区域 如图 分为四个区域 2 有限区域与无限区域 区域内任两点距离有上界 称此区域为有限区域 否则为无限区域 上图中 区域 是无限区域 6 5 202011 17AM DerenChen ZhejiangUniv 8
4、定理1 欧拉公式 Euler sformula 对任何一个连通平面简单图 有v 其中v为顶点数 为边数 是区域数 证明 对 归纳 1 只有二种情况 v v v v 6 5 202011 17AM DerenChen ZhejiangUniv 9 2 若 时欧拉公式成立 时 若 中有有限区域 去掉此区域的一条边 成 只有 条边 满足v 而v v 仍有v v v 若 不存在有限区域 即 中无回路 必有次为 的顶点 去掉这个顶点及关联的边 得 顶点和边都减少 区域数总为 由假设 中只有 条边 满足v 而v v v v 6 5 202011 17AM DerenChen ZhejiangUniv 10
5、 由于平面图的区域比较难数 如果已能画成边不相交的图 则已明确是平面图了 对一些特殊的图 欧拉公式有以下推论 推论一 如果 是连通的平面简单图且v大于等于3 则有 v 6 5 202011 17AM DerenChen ZhejiangUniv 11 推论二 如果图 是连通的平面简单图且v大于等于3 每个区域至少由四边围成 则有 v 用推论 和推论 易证明三管道图 3 3及 个顶点完全图 5一定不是平面图 三管道图 每个区域都由 条边围成 v v 5每个区域至少由三条边围成 v v 6 5 202011 17AM DerenChen ZhejiangUniv 12 问题 如何判定一个图是否为平
6、面图 定义 同胚 次 范围内的同构 增加或减少次为 的顶点 能使两个图同构 称为同胚 homeomorphic 6 5 202011 17AM DerenChen ZhejiangUniv 13 定理2 库氏定理 kuratowski stheorem平面图判断的充要条件 一个图是平面图的充分必要条件是它不含有与k5和k3 3同胚的子图 例 6个顶点的完全图必不是平面图 图b是图a的子图 图b去掉次为 的顶点 6 使 1与 5直接相邻 就是 个顶点的完全图 5 图b与 5同胚 所以图a一定不是平面图 当然 5也是图a的子图 尽管有了库氏定理 判别一个图是否是平面图还是相当困难 6 5 2020
7、11 17AM DerenChen ZhejiangUniv 14 图a图b 6 5 202011 17AM DerenChen ZhejiangUniv 15 7 1图的概念 IntroductionofGraph7 2图的术语 GraphTerminology7 3图的表示与同构 RepresentingGraphandGraphIsomorphism7 4连通性 Connectivity7 5欧拉道路与哈密尔顿道路 EulerandHamiltonPaths7 6最短道路问题 ShortestPathProblem7 7平面图 PlanarGraphs7 8图的着色 GraphColor
8、ing 6 5 202011 17AM DerenChen ZhejiangUniv 16 图的着色应用与对偶图 DUALGRAPH 每一个region表示顶点 两个region有公共边界对应有一条边 6 5 202011 17AM DerenChen ZhejiangUniv 17 定义1 简单图的着色 coloring 每一个顶点指定一个颜色使得任意两个相邻顶点有不同的颜色 定义2 简单图的色数 chromaticnumber 图的着色中使用的最小颜色数 6 5 202011 17AM DerenChen ZhejiangUniv 18 定理1四色定理 fourcolortheorem 任
9、意一个图的色数小于等于4 6 5 202011 17AM DerenChen ZhejiangUniv 19 应用问题 1SCHEDULINGFINALEXAMS2FREQUENCYASSIGNMENT 6 5 202011 17AM DerenChen ZhejiangUniv 20 小结 1 平面图的概念 无向 简单 有限 非交叉边 区域2 平面图的欧拉公式 必要条件3 平面图判定的库氏定理 关键点 极大非平面图4 图的着色和图的色数 6 5 202011 17AM DerenChen ZhejiangUniv 21 进一步的思考 1 如何判断图中的极大非平面子图2 如何对图中顶点着色 PAOWELL3 进一步如何建立起对边的着色的一套方法 6 5 202011 17AM DerenChen ZhejiangUniv 22 练习 pp 5087 10 20pp 51711 15
