1、仙女座 波恩 一 物质波波函数 微观领域常用实物粒子在空间出现的概率分布来描述其运动状态 该概率分布函数称为物质波的波函数 波函数记作 x y z t 常用复数形式来表示 例如 沿 x方向传播的平面简谐波的波动方程 也可用复数形式来表示 例如 沿 x方向传播的平面简谐波的波动方程 也可用复数形式来表示 x 该波动方程的定态波函数 不含时间变量 x 该波动方程的定态波函数 不含时间变量 如何构造物质波波函数 x y z t 机械波强度 I A2 A为其在该处的振幅 用复数形式表示 则其振幅为 x y z t 概率密度w x y z t 2 如何构造物质波波函数 x y z t 机械波强度 I A
2、2 A为其在该处的振幅 用复数形式表示 则其振幅为 x y z t 仿此关系 物质波的强度 x y z t 2 物质波的强度称作粒子在空间某点 x y z 处出现的概率密度 记作w x y z t 粒子在dv空间出现的概率 dG x y z t 2dv 若粒子只出现在一维空间 则其在x x dx空间出现的概率为 dG wdx x t 2dx 若粒子只出现在一维空间 则其在x x dx空间出现的概率为 玻恩 M Born 1882 1970 德国物理学家 1926年提出波函数的统计意义 为此与博特 W W GBothe 1891 1957 共享1954年诺贝尔物理学奖 dG wdx x t 2d
3、x 若粒子只出现在一维空间 则其在x x dx空间出现的概率为 粒子在全空间出现的概率为1 即 对于一维 归一化条件 x y z t 必须满足单值 连续 有限条件 标准条件 dG wdx x t 2dx 对于一维 x y z t 必须满足单值 连续 有限条件 标准条件 例构造一维自由粒子的物质波波函数 x t 一维自由粒子 不受任何外力作用 沿 x方向运动的实物粒子 设 一平面简谐波沿 x方向传播 其波函数 复数形式 复数形式 仿照上式 缔合在一维自由粒子上的物质波波函数 而 上式可写成 仿照上式 缔合在一维自由粒子上的物质波波函数 而 上式可写成 二 薛定谔方程 v c 对自由粒子 其定态波
4、函数为 则 上式可应用到非自由粒子情形 二 薛定谔方程 v c 对自由粒子 其定态波函数为 则 上式可应用到非自由粒子情形 能量 动量 对非自由粒子 对非自由粒子 能量 动量 即 对非自由粒子 称为一维定态薛定谔方程 三维定态薛定谔方程 即 对非自由粒子 称为一维定态薛定谔方程 三维定态薛定谔方程 其中 称为拉普拉斯算符 薛定谔 ErwinSchr dinger 1887 1961 奥地利著名理论物理学家 量子力学的重要奠基人 同时在固体比热 统计热力学 原子光谱及镭的放射性等方面的研究都有很大成就 1933年与物理学家狄拉克共同荣获诺贝尔物理学奖 薛定谔还是现代分子生物学的奠基人 三 一维无
5、限深势阱 设 一粒子被约束在 o a 一维空间 其势能函数为 根据定态薛定谔方程 势阱中粒子的概率波满足 根据定态薛定谔方程 势阱中粒子的概率波满足 根据边界条件 由于粒子肯定出现在 o a 之间 A B不能同时为零 根据边界条件 由于粒子肯定出现在 o a 之间 A B不能同时为零 上式表明 势阱中的粒子的能量是量子化的 只能取一组分立值 能量量子化是物质波粒二象性的自然结果 n 1 2 3 称为量子数 粒子波函数为 上式表明 势阱中的粒子的能量是量子化的 只能取一组分立值 能量量子化是物质波粒二象性的自然结果 n 1 2 3 称为量子数 粒子波函数为 由归一化条件 由归一化条件 粒子在势阱
6、中的概率密度wn为 粒子在势阱中的概率密度wn为 极大值 波函数的驻波特点 处 波函数的值皆为零 波函数以驻波形式存在势阱中 处 波函数的值皆为零 波函数以驻波形式存在势阱中 波函数的驻波特点 势阱中粒子能量的量子化从其驻波特点中也可自然地得出 四 对应原理 经典物理的规律与量子物理的规律似乎无共同之处 但在忽略量子效应时 两者应该趋于一致 例如 在一维势阱中的粒子 两相邻能级的差为 能量可认为是连续的 经典物理可以看成是量子物理在量子数n 时的极限 五 一维方势垒隧道效应 设想一维方势垒如图 一粒子处于x 0的区域内 其能量小于势垒高度Ep0 经典物理 粒子不可能越过势垒进入x 0的区域 量子物理 粒子波函数分布如图 粒子能越过势垒到达x 0的区域 称作隧道效应
