1、第三章内积空间 正规矩阵与H 阵定义 设是实数域上的维线性空间 对于中的任意两个向量按照某一确定法则对应着一个实数 这个实数称为与的内积 记为 并且要求内积满足下列运算条件 这里是中任意向量 为任意实数 只有当时 我们称带有这样内积的维线性空间为欧氏空间 例1在中 对于规定容易验证是上的一个内积 从而成为一个欧氏空间 如果规定 容易验证也是上的一个内积 这样又成为另外一个欧氏空间 例2在维线性空间中 规定容易验证这是上的一个内积 这样对于这个内积成为一个欧氏空间 例3在线性空间中 规定 容易验证是上的一个内积 这样对于这个内积成为一个欧氏空间 定义 设是复数域上的维线性空间 对于中的任意两个向
2、量按照某一确定法则对应着一个复数 这个复数称为与的内积 记为 并且要求内积满足下列运算条件 这里是中任意向量 为任意复数 只有当时 我们称带有这样内积的维线性空间为酉空间 欧氏空间与酉空间通称为内积空间 例1设是维复向量空间 任取 规定容易验证是上的一个内积 从而成为一个酉空间 例2设表示闭区间上的所有连续复值函数组成的线性空间 定义 容易验证是上的一个内积 于是便成为一个酉空间 例3在维线性空间中 规定其中表示中所有元素取共轭复数后再转置 容易验证是上的一个内积 从而连同这个内积一起成为酉空间 内积空间的基本性质 欧氏空间的性质 酉空间的性质 定义 设是维酉空间 为其一组基底 对于中的任意两
3、个向量那么与的内积 令 称为基底的度量矩阵 而且定义 设 用表示以的元素的共轭复数为元素组成的矩阵 记 则称为的复共轭转置矩阵 不难验证复共轭转置矩阵满足下列性质 定义 设 如果 那么称为Hermite矩阵 如果 那么称为反Hermite矩阵 例判断下列矩阵是H 阵还是反H 阵 5 实对称矩阵 6 反实对称矩阵 7 欧氏空间的度量矩阵 8 酉空间的度量矩阵内积空间的度量定义 设为酉 欧氏 空间 向量的长度定义为非负实数例在中求下列向量的长度 解 根据上面的公式可知一般地 我们有 对于中的任意向量其长度为 这里表示复数的模 定理 向量长度具有如下性质当且仅当时 例1 在线性空间中 证明例2设表示
4、闭区间上的所有连续复值函数组成的线性空间 证明 对于任意的 我们有 定义 设为欧氏空间 两个非零向量的夹角定义为于是有定理 因此我们引入下面的概念 定义 在酉空间中 如果 则称与正交 定义 长度为1的向量称为单位向量 对于任何一个非零的向量 向量总是单位向量 称此过程为单位化 标准正交基底与Schmidt正交化方法定义 设为一组不含有零向量的向量组 如果内的任意两个向量彼此正交 则称其为正交的向量组 定义 如果一个正交向量组中任何一个向量都是单位向量 则称此向量组为标准的正交向量组 例在中向量组 与向量组都是标准正交向量组 定义 在维内积空间中 由个正交向量组成的基底称为正交基底 由个标准的正
5、交向量组成的基底称为标准正交基底 注意 标准正交基底不唯一 在上面的例题中可以发现这一问题 定理 向量组为正交向量组的充分必要条件是 向量组为标准正交向量组的充分必要条件是 定理 正交的向量组是一个线性无关的向量组 反之 由一个线性无关的向量组出发可以构造一个正交向量组 甚至是一个标准正交向量组 Schmidt正交化与单位化过程 设为维内积空间中的个线性无关的向量 利用这个向量完全可以构造一个标准正交向量组 第一步正交化容易验证是一个正交向量组 第二步单位化显然是一个标准的正交向量组 例1运用正交化与单位化过程将向量组化为标准正交向量组 解 先正交化 再单位化 那么即为所求的标准正交向量组 例
6、2求下面齐次线性方程组 其解空间的一个标准正交基底 解 先求出其一个基础解系下面对进行正交化与单位化 即为其解空间的一个标准正交基底 酉变换与正交变换定义 设为一个阶复矩阵 如果其满足则称是酉矩阵 一般记为设为一个阶实矩阵 如果其满足则称是正交矩阵 一般记为 例 是一个正交矩阵 是一个正交矩阵 是一个正交矩阵 5 设且 如果则是一个酉矩阵 通常称为Householder矩阵 是一个酉矩阵 酉矩阵与正交矩阵的性质 设 那么设 那么 定理 设 是一个酉矩阵的充分必要条件为的个列 或行 向量组是标准正交向量组 定义 设是一个维酉空间 是的一个线性变换 如果对任意的都有 则称是的一个酉变换 定理 设是
7、一个维酉空间 是的一个线性变换 那么下列陈述等价 1 是酉变换 3 将的标准正交基底变成标准正交基底 4 酉变换在标准正交基下的矩阵表示为酉矩阵 注意 关于正交变换也有类似的刻划 幂等矩阵定义 设 如果满足则称是一个幂等矩阵 例是一个分块幂等矩阵 幂等矩阵的一些性质 设是幂等矩阵 那么有 1 都是幂等矩阵 2 3 4 的充分必要条件是 5 定理 设是一个秩为的阶矩阵 那么为一个幂等矩阵的充分必要条件是存在使得推论 设是一个阶幂等矩阵 则有定义 设为一个维标准正交列向量组 那么称型矩阵 为一个次酉矩阵 一般地将其记为定理 设为一个阶矩阵 则的充分必要条件是存在一个型次酉矩阵使得其中 引理 的充分
8、必要条件是证明 设 那么 必要性 如果为一个维标准正交列向量组 那么 充分性 设 那么由 可得 即这表明是一个维标准正交列向量组 定理的证明 必要性 因 故有个线性无关的列向量 将这个列向量用Schmidt方法得出个两两正交的单位向量 以这个向量为列构成一个型次酉矩阵 注意到的个列向量都可以由的个列向量线性表出 即如果那么可得 其中 由于向量组的秩为 所以的秩为 下面证明 由可得 即注意到 所以 即因为 所以 这样得到于是 充分性 若 则 Schur引理与正规矩阵定义 设 若存在 使得则称酉相似 或正交相似 于定理 Schur引理 任何一个阶复矩阵酉相似于一个上 下 三角矩阵 证明 用数学归纳
9、法 的阶数为1时定理显然成立 现设的阶数为时定理成立 考虑的阶数为时的情况 取阶矩阵的一个特征值 对应的单位特征向量为 构造以为第一列的阶酉矩阵 因为构成的一个标准正交基 故 因此 其中是阶矩阵 根据归纳假设 存在阶酉矩阵满足 上三角矩阵 令那么 注意 等号右端的三角矩阵主对角线上的元素为矩阵的全部特征值 定理 Schur不等式 设为矩阵的特征值 那么例 已知矩阵 试求酉矩阵使得为上三角矩阵 解 首先求矩阵的特征值 所以为矩阵的三重特征值 当时 有单位特征向量再解与其内积为零的方程求得一个单位解向量 再解与内积为零的方程组求得一个单位解向量取 计算可得 令 再求矩阵的特征值所以为矩阵的二重特征
10、值 当时 有单位特征向量 再解与其内积为零的方程求得一个单位解向量 取计算可得 令于是有 则 矩阵即为所求的酉矩阵 正规矩阵定义 设 如果满足 那么称矩阵为一个正规矩阵 设 如果同样满足那么称矩阵为一个实正规矩阵 例 1 为实正规矩阵 2 其中是不全为零的实数 容易验证这是一个实正规矩阵 3 这是一个正规矩阵 4 H 阵 反H 阵 正交矩阵 酉矩阵 对角矩阵都是正规矩阵 正规矩阵的性质与结构定理 引理1 设是一个正规矩阵 则与酉相似的矩阵一定是正规矩阵 引理2 设是一个正规矩阵 且又是三角矩阵 则必为对角矩阵 由上述引理可以得到正规矩阵的结构定理定理 设 则是正规矩阵的充要条件是存在一个酉矩阵
11、使得 其中是矩阵的特征值 推论1 阶正规矩阵有个线性无关的特征向量 推论2 正规矩阵属于不同特征值的征向量彼此正交 例1 设求正交矩阵使得为对角矩阵 解 先计算矩阵的特征值 其特征值为对于特征值解线性方程组求得其一个基础解系现在将单位化并正交化 得到两个标准正交向量 对于特征值解线性方程组求得其一个基础解系将其单位化得到一个单位向量 将这三个标准正交向量组成矩阵 则矩阵即为所求正交矩阵且有 例2 设 求酉矩阵使得为对角矩阵 解 先计算矩阵的特征值其特征值为对于特征值解线性方程组求得其一个基础解系 现在将单位化 得到一个单位向量 对于特征值解线性方程组求得其一个基础解系将其单位化得到一个单位向量
12、 对于特征值解线性方程组求得其一个基础解系将其单位化得到一个单位向量 将这三个标准正交向量组成矩阵 则矩阵即为所求酉矩阵且有 例3证明 1 H 矩阵的特征值为实数 H 矩阵属于不同特征值的特征向量是正交的 2 反H 矩阵的特征值为零或纯虚数 3 酉矩阵的特征值模长为1 定理 设是正规矩阵 则 1 是H 阵的充要条件是的特征值为实数 2 是反H 阵的充要条件是的特征值的实部为零 3 是U 阵的充要条件是的特征值的模长为1 注意 正规矩阵绝不仅此三类 例4 设是一个反H 阵 证明 是U 阵 证明 根据U 阵的定义 由于是反H 阵 所以 这样于是可得 这说明为酉矩阵 例5 设是一个阶H 阵且存在自然
13、数使得 证明 证明 由于是正规矩阵 所以存在一个酉矩阵使得 于是可得从而这样 即Hermite二次型 Hermite二次齐次多项式 Hermite矩阵的基本性质引理 设 则 1 都是H 阵 2 是反H 阵 3 如果是H 阵 那么也是H 阵 为任意正整数 4 如果是可逆的H 阵 那么也是可逆的H 阵 5 如果是H 阵 反H 阵 那么是反H 矩阵 H 阵 这里为虚数单位 6 如果都是H 阵 那么也是H 阵 这里均为实数 7 如果都是H 阵 那么也是H 阵的充分必要条件是 定理 设 则 1 是H 阵的充分必要条件是对于任意的是实数 2 是H 阵的充分必要条件是对于任意的阶方阵为H 阵 H 阵的结构定
14、理定理 设 则是H 阵的充分必要条件是存在一个酉矩阵使得 其中 此定理经常叙述为 H 阵酉相似于实对角矩阵 推论 实对称阵正交相似于实对角矩阵 例 设为一个幂等H 阵 则存在酉矩阵使得证明 由于为一个H 阵 所以存在酉矩阵使得 又由于为一个幂等H 阵 从而或将1放在一起 将0放在一起 那么可找到一个酉矩阵使得 这里为矩阵的秩 Hermite二次型 Hermite二次齐次多项式 定义 由个复变量 系数为复数的二次齐次多项式 称为Hermite二次型 这里如果记 那么上面的Hermite二次型可以记为称为Hermite二次型对应的矩阵 并称的秩为Hermite二次型的秩 对于Hermite二次型作
15、可逆的线性替换则 这里Hermite二次型中最简单的一种是只含有纯的平方项无交叉项的二次型我们称这种形状的Hermite二次型为标准形的Hermite二次型 定理 对于任意一个Hermite二次型 必存在酉线性替换可以将Hermite二次型化为标准形其中是H 矩阵的特征值 进一步 我们有定理 对于Hermite二次型 必存在可逆的线性替换可以将Hermite二次型化为其中 我们称上面的标准形为Hermite二次型的规范形 例 写出下面Hermite二次型的矩阵表达式 并用酉线性替换将其化为标准形 解 正定Hermite二次型与正定Hermite矩阵定义 对于给定的Hermite二次形如果对于任
16、意一组不全为零复数都有 则称该Hermite二次形为正定的 半正定的 并称相应的H 矩阵为正定的 半正定的 例 判断下列Hermite二次形的类别 与正定的实二次形一样 关于正定的Hermite二次形我们有定理 对于给定的Hermite二次形下列叙述是等价的 1 是正定的 2 对于任何阶可逆矩阵都有为正定矩阵 3 的个特征值都大于零 4 存在阶可逆矩阵使得 5 存在阶可逆矩阵使得 6 存在正线上三角矩阵使得 且此分解是唯一的 例1 设是一个正定的H 阵 且又是酉矩阵 则证明 由于是一个正定H 阵 所以必存在 酉矩阵使得由于又是酉矩阵 所以 这样必有 从而例2 设是一个正定的H 阵 是一个反H
17、阵 证明 与的特征值实部为零 证明 设为矩阵的任意一个特征值 那么有 由于是一个正定H 阵 所以存在可逆矩阵使得将其代入上面的特征多项式有 这说明也是矩阵的特征值 另一方面注意矩阵为H 反阵 从而实部为零 同样可以证明另一问 例3 设是一个正定的H 阵 是一个反H 阵 证明 是可逆矩阵 证明 由于是一个正定H 阵 所以存在可逆矩阵使得这表明是可逆的 于是另一方面注意矩阵仍然为正定H 阵 而矩阵为H 反阵 由上面的例题结论可知 矩阵的特征值实部为零 那么矩阵的特征值中不可能有零 从而 定理 对于给定的Hermite二次形下列叙述是等价的 1 是半正定的 2 对于任何阶可逆矩阵都有为半正定矩阵 3
18、 的个特征值全是非负的存在阶可逆矩阵使得 5 存在秩为的阶矩阵使得 定理 设是正定 半正定 Hermite矩阵 那么存在正定 半正定 Hermite矩阵使得例1 设是一个半正定的H 阵且证明 证明 设为的全部特征值 由于是半正定的 所以 于是有 例2 设是一个半正定的H 阵且是一个正定的H 阵 证明 证明 由于是一个正定的H 阵 所以存在可逆矩阵使得这样有 注意矩阵仍然是一个半正定的H 阵 有上面的例题可知从而 例3 证明 1 半正定H 矩阵之和仍然是半正定的 2 半正定H 矩阵与正定H 阵之和和是正定的 证明 设都是半正定H 阵 那么二者之和仍然是一个H 阵 其对应的Hermite二次型为其
19、中 由于都是半正定H 矩阵 所以对于任意一组不全为零的复数我们有这说明为一个半正定H 阵 类似地 可以证明另外一问 例4 设都是阶正定H 阵 则的根全为正实数 证明 因为是正定的 所以存在可逆矩阵使得另一方面注意到是一个正定H 阵 从而有 的根全为正实数 又由于故的根全为正实数 定理 设是一个 半 正定H 阵 那么必存在唯一的一个 半 正定H 阵 使得 Hermite矩阵偶在复合同 复相合 下的标准形例 设均为阶Hermite 阵 且又是正定的 证明必存在使得 与同时成立 其中是与无关的实数 证明 由于是正定H 阵 所以存在使得又由于也是H 阵 那么存在使得 其中是H 阵的个实特征值 如果记
20、则有 下面证明个实特征值与无关 令 那么是特征方程 的特征根 又由于因此是方程的根 它完全是由决定的与无关 由此可以得到下面的H 阵偶标准形定理 定理 对于给定的两个二次型其中是正定的 则存在非退化的线性替换可以将同时化成标准形 其中是方程的根 而且全为实数 定义 设均为阶Hermite 阵 且又是正定的 求使得方程有非零解的充分必要条件是 关于的次代数方程方程成立 我们称此方程是相对于的特征方程 它的根称为相对于的广义特征值 将代入到方程中所得非零解向量称为与相对应的广义特征向量 广义特征值与广义特征向量的性质 命题 1 有个广义特征值 2 有个线性无关的广义特征向量 即 3 这个广义特征向量可以这样选取 使得其满足 其中为Kronecker符号 再见 再见
