1、高中数学课程设计 1 / 4课题 1.1.7 柱、锥、台和球体的体积 课型主备人 李冬旭 上课教师 李冬旭 上课时间学习目标1.记住棱柱、棱锥、和棱台的体积公式2.会利用公式棱柱、棱锥、和棱台的体积公式教学重点棱柱、棱锥、和棱台的体积公式的推导方法以及祖暅原理。教学难点祖暅原理的理解及棱柱、棱锥、棱台和球的体积公式的应用教师准备教学过程 时间分配 集备修正研习点 1. 祖暅原理祖暅原理：幂势既同，则积不容异.也就是说，夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.如何理解祖暅原理？祖暅原理是推导柱、锥、台和球体积公
2、式的基础和纽带，原理中含有三个条件，条件一是两个几何体夹在两个平行平面之间，条件二是用平行于两个平行平面的任何一平面可截得两个平面，条件三是两个截面的面积总相等，这三个条件缺一不可，否则结论不成立.这个原理是非常浅显易懂的，例如取一摞纸张堆放在桌面上，将它们如下图的右图那样改变一下形状，这时高度没有改变，每页纸的面积也没有改变，因而这摞纸的体积与变形前相等.研习点 2 棱柱和圆柱的体积1柱体（棱柱和圆柱）的体积等于它的底面积 S 和高 h 的积. 即 V 柱体=S·h.15x5高中数学课程设计 2 / 4设有一个棱柱、一个圆柱和一个长方体，它们的底面积相等，都等于 S，高都等于 h，
3、它们的下底面都在同一平面上. 因为它们的上底面和下底面平行，并且高相等，所以它们的上底面都在和下底面平行的同一个平面内.用与底面平行的任意平面去截它们时，所得的截面面积都等于 S，根据祖暅原理，它们的体积相等. 由于长方体的体积等于它的底面积和高的乘积，于是我们得到柱体的体积计算公式是 V 柱体=S·h底面半径是 R，高为的圆柱体的体积的计算公式是 S 圆柱 =R2h.研习点 3. 棱锥和圆锥的体积1. 如果一个锥体（棱锥、圆锥）的底面积是 S，高是 h，那么它的体积是 V 锥体 = 31Sh.2. 如果圆锥的底面半径是 R，高是，则它的体积是 V 圆锥 = 31R2h.如何理解锥体
4、体积的推导？在推导棱锥的体积公式时，是将三棱柱分为三个三棱锥，这三个三棱锥变换它们的底面和顶点，可以得到它们两两之间等底面积、等高，因此它们的体积相等，都等于三棱柱体积的三分之一，在这个过程中一是运用了等积转换的方法，二是运用了割补法，这些方法在今后解题时要灵活运用.研习点 4 棱台和圆台的体积1. V 台体 = 1(')3Sh；其中 S、S分别为台体上、下底面面积， h为台体的高.2V 圆台 = (r2+Rr+R2)h，其中 r、R 分别为圆台的上、下底面的半径，高为 h.研习点 5 球的体积V 球 = 34，其中 R 为球的半径 .柱体、锥体、台体的体积公式间的关系高中数学课程设计
5、 3 / 4研习点 6 多面体体积的求法多面体体积的常用求法有：1直接法；2换底法；3分割法；4补体法.题型 1. 考查柱体的体积例 1. 三棱柱 ABCA 1B1C1 中，若 E、F , 分别为 AB、AC 的中点，平面EBC1F, 将三棱柱分成体积为 V1、V 2 的两部分，那么 V1:V2= .【探究】V 1对应的几何体 AEFA 1B 1C 1 是一个棱台，一个底面的面积与棱柱的底面积相等，另一个底面的面积等于棱柱底面的 4，V 2 对应的是一个不规则的几何体，显然 V2 的体积无法直接表示，可以考虑间接的办法，用三棱柱的体积减去V1 来表示.【研析】设三棱柱的高为 h，底面的面积为
6、S，体积为 V，则V=V1+V2=Sh， E，F 分别为 AB、AC 的中点， SAEF = 4S. V1= 17()342Sh,V2=ShV 1= 5h, V1：V 2=7：5.例 2. 已知等边圆柱（轴截面是正方形的圆柱）的全面积为 S，求其内接正四棱柱的体积。【探究】 要解决此题首先要画出合适的轴截面图来帮助我们思考，要求内接正四棱柱的体积，只需求出等边圆柱的底面圆半径r，根据已知条件可以用 S 表示它。963高中数学课程设计 4 / 4【研析】如图，设等边圆柱的底面半径为 r，则高 h=2r， 内接正四棱柱的底面边长 a=2rsin45°= 2r即圆柱的内接正四棱柱的体积为 269S作业步步高 高下作业课后习题板书设计棱锥、棱台体积 例题 1 练习（1 ） 棱锥、棱台体积 例题 2 （2 ） 小结棱锥、棱台体积 例题 3 （3 ）课后反思题是正四棱柱与圆柱的相接问题，解决这类问题的关键是找到相接几何体之间的联系，如本例中正四棱柱的底面对角线的长与圆柱的底面直径相等，正四棱柱的高与圆柱的母线长相等，通过这些关系可以实现已知条件的相互转化。
