1、1集合论与图论课堂练习 1 （2011 年 10 月 复旦大学计算机科学技术学院 2010 级）学号 姓名 成绩 一、 填空题（30 分，每格 3 分）1设 A 为一个集合，若 A 为有限集。若 ，则称 A 为可列集。2设 R 是 A 上的二元关系，R 的自反（对称，传递）闭包，记为 R，满足下列 3 个条件：（1）_ _ _;（2）_ _ ;（3）_ _ _。3集合 A 的递归（归纳）定义由三部分组成：（1）_ _ _;（2）_ _ ;（3）_ _ _。4设 R1 是从 A 到 B 的二元关系， R2 是从 B 到 C 的二元关系，则从 A 到 C 的R1 和 R2 的复合关系定义为_ _
2、。5. 设 f1 是从 A 到 B 的函数，f 2 是从 B 到 C 的函数，则从 A 到 C 的 f1 和 f2 的复合函数定义为_ _ 。二、是非判断题（18 分，每题 6 分，其中判断 3 分，论述 3 分）21A (BC)=(AB) ( AC)（真）2A(BC)=(AB) ( AC)（假）A=2, 3，B=1, 4, 7，C=3,53设 A, B 是集合，若存在 A 到 B 的满射，则|B| A|。（ 真 ）设存在 A 到 B 的满射 f，对任意 bB，存在 xA，f(a)=b。而由函数的定义，f(a 1)=b1，f(a 2)=b2，若 b1b2，则 a1a2。则|B |A|。三、综合
3、题（52 分）1设 R 是 A 上的二元关系。证明 R 的自反闭包的对称闭包的传递闭包，是包含 R 的最小的等价关系。 （15 分）2在 1 到 1000000 之间（包括 1 和 1000000 在内） ，有多少个整数既不是完全平方数，也不是完全立方数？（15 分）解：S= x | xN 并且 1x1000000，A= x | xS 并且 x 是完全平方数 ，B= x | xS 并且 x 是完全立方数。|S|=1000000，|A|=1000，|B|=100 ，|A B|=10|S|-|AB|=9989103格是一个偏序集，其中每对元素都有一个最大下界和最小上界。（1）证明一个集合上的所有划
4、分的集合与关系构成一个格。（2）如果划分 P1 是 P2 的加细，则 P1P 2。 （22 分，每题 11 分）设是集合 S 的所有划分的集合，如果划分 P1 是 P2 的加细，即如果 P1 中的每个集合都是 P2 中某个集合的子集，则 P1P 2。首先证明（，）是偏序集。由于 PP，所以是自反的。假设 P1P 2，并且 P2P 1。令 T P1，因为 P1P 2，存在集合 TP2，使得 TT；又因为 P2P 1，存在集合 T”P1，使得 TT”；从而 TT”。但是因为 P1 是划分，由 T=T”和 TTT”推出 T=T”，于是 TP2。反之，通过交换 P1 与 P2 同样得出P2 的每个子集也在 P1 中。因此 P1=P2，并且是反对称的。假设 P1P 2 并且 P2P 3。令 T P1，存在集合 TP2，使得 TT；由于 P2P 3，存在集合 T”P3，使得 TT”；所以 TT”，因此 P1P 3。所以是传递的。划分 P1 和 P2 的最大下界是划分 P，P 的子集都是形如 T1T2 的非空集合，其中 T1 P1，T 2 P2，划分 P1 和 P2 的最小上界对应于等价关系的划分：x S 等价于 yS，如果对某个非负整数 n 存在序列 x=x0, x1, x2, , xn=y，使得从 1 到 n 的每个 i，x i-1 和 xi 在 P1 或者 P2的同一元素中。
