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非线性方程组的数值解法.ppt

上传人:jinchen 文档编号:12319345 上传时间:2021-12-10 格式:PPT 页数:28 大小:775KB
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1、6 4非线性方程组的数值解法 6 4 3非线性方程组的Newton法 6 4 2非线性方程组的Newton法 6 4 1非线性方程组的不动点迭代法 1 2 学习目标 设含有n个未知数的n个方程的非线性方程组为 6 4 1 其中为n维列向量 6 4 1非线性方程组的不动点迭代法 中至少有一个是x的非线性函数 并假设自变量和函数值都是实数 多元非线性方程组 6 4 1 与一元非线性方程f x 0具有相同的形式 可以与一元非线性方程并行地讨论它的迭代解法 例如不动点迭代法和Newton型迭代法 但是 这里某些定理的证明较为复杂 我们将略去其证明 把它写成等价形式 函数也称映射 若函数的定义域为 则可

2、用映射符号简便地表示为 为了讨论不动点迭代法 6 4 3 的收敛性 先定义向量值函数的映内性和压缩性 定理6 7 Brouwer不动点定理 若在有界凸集上连续并且映内 则在内存在不动点 定理6 8 压缩映射定理 设函数在闭集上是映内的 并且对某一种范数是压缩的 压缩系数为L 则 1 在上存在唯一的不动点 2 对任何初值迭代法 6 4 3 生成的序列且收敛到 并且有误差估计式 证 首先容易算出 对于任何 都有因此 迭代函数在上是映内的 进而 对于任何都有 定义6 4设为的不动点 若存在的一个领域 对一切 由 6 4 3 式产生的序列且 则称具有局部收敛性 得知 从而有 于是 由定义6 4知迭代法

3、 6 4 3 在点处局部收敛 定理得证 与单个方程的情形类似 有时可以用关于导数的条件代替压缩条件来判别收敛性 定理6 10设 在D内有一不动点 且在处可导 且谱半径 则迭代法 6 4 3 在点处局部收敛 其中 函数的导数为Jacobi矩阵 见 式 利用谱半径与范数的关系 我们可用代替定理6 10中的条件 例如 对于例6 11有对于例6 12所取的区域的不动点在它的内部 容易验证 在上有 因此 迭代法 6 4 5 在点处局部收敛 对于非线性方程组 也可以构造类似于一元方程的Newton迭代法 设是方程组 6 4 1 的解 是方程组的一个近似解 用点处的一阶Taylaor展开式近似每一个分量函数值 有 6 4 2非线性方程组的Newton法 例6 13用Newton法解例6 11的方程组 6 4 4 解对该方程组有取初始向量 解方程组 即 关于Newton法的收敛性 有下面的局部收敛性定理 定理6 11设 满足 若有的开邻域 在其上连续 可逆 则 其中的参数称为阻尼因子 称为阻尼项 解出后 令 加进阻尼项的目的 是使线性方程的系数矩阵非奇异并良态 当选的很合适时 阻尼Newton法时线性收敛的 6 4 3非线性方程组的Newton法

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