1、椭圆的简单几何性质 F1 c 0 F2 c 0 F1 0 c F2 0 c 看分母的大小 焦点在分母大的那一项对应的坐标轴上 c a b 焦点在x轴上 焦点在y轴上 二 椭圆简单的几何性质 1 范围 x 2 对称性 根据椭圆的图形 观察它有何对称性 2 对称性 从图形上看 椭圆关于x轴 y轴 原点对称 如何从方程来分析这些对称性呢 1 把y换成 y方程不变 椭圆关于x轴对称 2 把x换成 x方程不变 椭圆关于y轴对称 3 把x换成 x 同时把y换成 y方程不变 椭圆关于原点成中心对称 练习2 3 顶点 椭圆和坐标轴的交点叫做椭圆的顶点 椭圆有四个顶点 a 0 0 b 线段A1A2叫做椭圆的长轴
2、 且长为2a a叫做椭圆的长半轴长线段B1B2叫做椭圆的短轴 且长为2b b叫做椭圆的短半轴长 O x F1 F2 A2 B1 B2 y A1 a 0 a 0 0 b 0 b 为椭圆的焦距 为椭圆的半焦距 练习3 练习4 画出下列椭圆的草图 1 2 上面椭圆的形状有什么变化 O x y 怎样刻画它们的扁平程度 扁平的程度不同 4 椭圆的离心率 O x y 如图 a不变 也即 a不变 把椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的离心率 用e表示 即 b越小 椭圆越扁 c越大 椭圆越扁 4 椭圆的离心率 4 椭圆的离心率 离心率 椭圆的焦距与长轴长的比 叫做椭圆的离心率 1 离心率的取值范围 2 离心率对椭
3、圆形状的影响 0 e 1 1 e越接近1 c就越接近a 从而b就越小 椭圆就越扁2 e越接近0 c就越接近0 从而b就越大 椭圆就越圆 3 e与a b的关系 即e越大 椭圆越扁 即e越小 椭圆越圆 练习5 练习 1 若椭圆的焦距长等于它的短轴长 则其离心率为 2 若椭圆的两个焦点及一个短轴端点构成正三角形 则其离心率为 3 若椭圆的的两个焦点把长轴分成三等分 则其离心率为 关于x轴 y轴成轴对称 关于原点成中心对称 长半轴长为a 短半轴长为b 焦距为2c a2 b2 c2 0 e 1 例1求椭圆16x2 25y2 400的长轴和短轴长 离心率 焦点和顶点坐标 解 把已知方程化为标准方程 椭圆的
4、四个顶点是A1 5 0 A2 5 0 B1 0 4 B2 0 4 离心率 焦点F1 3 0 和F2 3 0 因此长轴长 短轴长 已知椭圆方程为6x2 y2 6 它的长轴长是 短轴长是 焦距是 离心率等于 焦点坐标是 顶点坐标是 外切矩形的面积等于 2 练习1 例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程 经过点P 3 0 Q 0 2 长轴长等于20 离心率3 5 1 解 利用椭圆的几何性质 以坐标轴为对称轴的椭圆与坐标轴的交点就是椭圆的顶点 于是焦点在x轴上 且点P Q分别是椭圆长轴与短轴的一个端点 故a 3 b 2 故椭圆的标准方程为 例3椭圆的一个顶点为 其长轴长是短轴长的2倍 求椭圆的标准方程 分析 题目没有指出焦点的位置 要考虑两种位置 椭圆的标准方程为 椭圆的标准方程为 解 1 当为长轴端点时 2 当为短轴端点时 综上所述 椭圆的标准方程是或 已知椭圆的离心率 求的值 由 得 解 当椭圆的焦点在轴上时 得 当椭圆的焦点在轴上时 得 由 得 即 满足条件的或 练习2 3 若某个椭圆的长轴 短轴 焦距依次成等差数列 则其离心率e 答案 3 5 小结 1 范围 a x a b y b 2 椭圆的对称性 关于x轴 y轴 原点对称 3 椭圆的顶点 a 0 a 0 4 椭圆的离心率
