1、第二章静电场 静电场的标势泊松方程及边值关系静电场能量 第一节静电场的标势及其微分方程 静电场基本方程 一静电场的标势 1电势的引入 静电场标势 物理意义 相距为dl两点间的电势差等于单位正电荷所受电场力做功的负值 2电势差 空间P点与Q点电势差 3点电荷的电势 多个点电荷时 电荷连续分布时 二泊松方程及边值关系 1泊松方程 当空间无电荷分布时 2边值关系 三静电场能量 例1求均匀电场的电势 解 取场中任一点为坐标原点 并设为电势零点 例2求无限大平行板电容器中的场 设电压为U 边界条件 解 建立如图坐标系 显然电位满足 场方程 例3求半径为a 带电量为Q的导体球的静电能量 解法1 解法2 若
2、区域内有导体存在 还需要给定每个导体的电势或每个导体所带自由电荷 此时解才唯一确定 当区域内的自由电荷和区域的边界上电势或电势的法向导数给定时 则该区域内静电场的分布唯一确定 第二节唯一性定理 场方程和边界条件给定时 场有唯一正确的解 例1一不带电的孤立导体球 半径为a 位于均匀电场中 求电势函数 孤立导体球位于均匀电场中 球面必然出现感应电荷 相当于一些电偶极子对称地分布 激发电场 球内电场为零 球外电场为两部分电场的叠加 分析 其中外电场电势函数为 解 建立如图球坐标系 为电偶极子产生的场 此解为满足拉普拉斯方程的解 由唯一性定理 必为唯一解 试探解法 球内表面上的自由电荷分布为 满足场方
3、程和边界条件 是唯一正确的解 第三节分离变量法 分离变量法适用范围几种常用坐标系中拉普拉斯方程通解的形式应用分离变量法解题 一 分离变量法适用范围 1 求解区域中介质分区均匀 且自由电荷 电势满足拉普拉斯方程 区域表面及分界面形状规则 可用分离变量法求解拉普拉斯方程 2 求解区域电荷分布具有某种对称性 用高斯定理等简单方法可找到泊松方程的特解 由电势叠加 即为界面上电荷激发的场 满足 再分离变量求解 在直角坐标系中 拉普拉斯方程 两边同除以 数 数 数 故通解为 二 拉普拉斯方程通解的形式 直角坐标系中的通解球坐标系中的通解圆柱坐标系中的通解 球坐标系中的通解 勒让德函数 三 分离变量法的解题
4、步骤 选取合适的坐标系 并根据对称性尽量减少自变量的个数 写出通解的形式 写出边界条件 确定待定系数 对所得解进行讨论 第四节镜象法 实质镜象法实质是用置于区域外的镜像电荷来等效地代替导体分界面的感应电荷或介质分界面的极化电荷 只要原有电荷与镜像电荷一起产生的场能够满足原有的场方程和边界条件 则由唯一性定理知所得解即为唯一正确的解 适用范围区域中只有一个或几个点电荷 区域边界是规则的导体面或介质面 则该问题可用镜象法求解 建立如图坐标系 例距无限大平面接地导体板为h处有一点电荷Q 求空间电场 解 在导体板下部显然电场为零 导体上部空间的电位满足泊松方程 如图放置镜像电荷 边界条件为 显然满足场
5、方程和边界条件 唯一正确的解 镜像法基本解题步骤 建立适当的坐标系写出场方程和边界条件 找出满足场方程和边界条件的尝试解 利用边界条件确定镜像电荷的电量位置等 对所得解进行讨论 例真空中有一半径为R的接地导体球 距球心为处有一点电荷Q 求空间电势 解 建立球坐标系 显然电势满足泊松方程 边界条件为 设置镜像电荷如图 O Q Q 例真空中有一半径为R的接地导体球 距球心为处有一点电荷Q 求空间电势 带入边界条件 可解得 解 空间电势为 此解满足场方程和边界条件 是唯一正确的解 Q Q 思考题 作业 习题2 9 2 10 第二章习题例解 2 2在均匀外电场中放入半径为R的导体球 用分离变量法求下列
6、两种情况下的电势 1 导体球接电池 使球与地保持电势差 2 导体球上带电荷Q 解 1 导体球接电池建立如图球坐标系 显然球内电场为零 设球外电势为 由对称性 满足 边界条件为 由 得 为球心对地电势 由 得 为坐标原点电势 由于电势零点选取造成 为电池使球面均匀带电产生的电势 为原外场电势 为导体球在外场作用下出现的感应电荷的电势 其中 项的实际物理图象应为球面电荷在外场的作用下重新分布 球面总电荷由电池提供 球面上电荷面密度为 电池充电 感应电荷 电池充电总电荷 解 2 导体球带电建立如图球坐标系 显然球内电场为零 设球外电势为 由对称性 边界条件为 可解得 此解的物理意义同上 第三章静磁场
7、 第一节矢势及其微分方程 静磁场的矢势泊松方程及边值关系静磁场能量 一矢势 1矢势的引入 矢势 静磁场基本方程 2库仑规范条件 库仑规范条件 矢势沿任一闭合回路的环量代表通过以该回路为界的任一曲面的磁通量 只有的环量才有物理意义 而每点上的值没有直接的物理意义 3物理意义 二矢势的泊松方程及边界条件 1泊松方程 泊松方程 在直角坐标系中 特解 引入矢势的优势 1 同向的电流元仅产生同向的矢势 2 利用矢势的特点 可引入标量函数化为求标量的拉氏方程 2边值关系 或 3电流在外磁场中的相互作用能 三静磁场能量 1磁场能量 2静磁场能量 在无自由电流的单连通区域 引入 磁标势 第二节磁标势 磁标势及其微分方程 显然在此区域 磁场满足方程 泊松方程 2静磁场和静电场对比 解 选取球坐标系 设球内电势为 球外电势 均满足拉普拉斯方程 例 求均匀磁化铁球产生的磁场 边界条件 电偶极子磁偶极子 电矩磁矩 磁荷 电势矢势标势
