1、第7章离散时间系统的时域分析 注意离散系统与连续系统分析方法上的联系 区别 对比 与连续系统有并行的相似性 学习方法 第7章离散时间系统的时域分析 7 3常系数线性差分方程的求解 7 1离散时间信号 7 2离散时间系统的数学模型 7 4零输入响应与零状态响应 7 5卷积 离散时间系统的优点精度高可靠性好功能灵活时分复用保密性好便于大规模集成 离散时间系统 激励与响应都是离散时间信号的系统 连续时间系统与离散时间系统分析方法比较 微分方程 差分方程 数学模型 系统函数 时域分析 变换域分析 频响特性 7 1离散时间信号 序列 7 1 1离散时间信号的表示方法 离散时间信号 时间变量是离散的 只在
2、某些不连续的规定瞬时给出函数值 在其他时间没有定义 波形图数学表达式各种变换域表示 ZT DTFT DFT 1 单位样值信号 7 1 2典型离散信号 序列 2 单位阶跃序列 差分关系 求和关系 3 矩形序列 4 斜变序列 5 单边指数序列 当时序列是发散的 时是收敛的a 0序列都取正值a 0序列在正 负间摆动 思考 a nu n 的波形 6 正弦序列 式中 是正弦序列包络的频率 说明 1 周期性条件 1 若2 w0为整数 周期2 w0 2 若2 w0有理数 周期大于2 w0 且2 w0 P Q P与Q为互质数 那么其周期为P 3 若2 w0为不是有理数 为非周期 例 2 与连续系统正弦关系 0
3、为正弦序列频率 单位是弧度 0为连续正弦频率 单位是弧度 秒 7 复指数序列 1 对自变量进行的运算 移位 反褶与尺度变换 序列移位 序列反褶 7 1 3序列的运算 序列尺度变换 压缩时 要按规律去除某些点 扩展时 要补足相应的零值 又称为序列的 重排 序列相加 减 两序列同序号的数值逐项对应相加 减 序列相乘 两序列同序号的数值逐项对应相乘 2 对因变量进行的运算 序列的差分 相邻两样值相减 一阶前向差分 一阶后向差分 序列的累加 例1 任意序列可以分解为加权 延迟的单位样值信号之和 即 任意序列可以分解为加权 延迟的单位样值信号之和 7 2离散时间系统的数学模型 7 2 1LTI离散时间系
4、统特性 7 2 2LTI离散时间系统的数学模型 N阶线性常系数后向差分方程 1 差分方程 2阶线性常系数前向差分方程 差分方程的阶数 响应的最大序号与最小序号之差 b 加法器 离散时间系统的基本运算单元 单位延时 相加 倍乘 a 单位延时器 c 数乘器 2 仿真框图 例 例 已知系统框图如图所示 求对应的数学模型 同时画出另外一种方框图模型 解 常系数一阶后向差分方程 围绕加法器建立差分方程 后向差分方程 未知序列的序号自n以递减的方式给出 7 2 3差分方程的建立 即 解 用迭代法求解此差分方程 例1 如果在每个月初向银行存款x n 元 月息为a 每月利息不取出 试用差分方程写出第n个月初的
5、本利和y n 设x n 1000元 y 0 0 求y 12 解 例2 列写求第个结点电压的差分方程 差分方程的解法 迭代法 时域经典法 零输入响应 零状态响应 概念清楚 但只能给出数值解 不容易给出通式 7 3常系数线性差分方程的时域求解 一 经典解法 1 求齐次解 例 y n ay n 1 0 且已知y 0 则y 1 ay 0 y 1 ay 0 y 2 a2y 0 y n any 0 y n any 0 u n 解 y n ay n 1 一阶齐次差分方程 特征方程 特征根 特征方程为 上式中方程的根称为特征根 2 N阶齐次差分方程 齐次解为 总结 特征方程 特征根 二重根 例1 y n y
6、n 2 0 y 1 1 y 2 1 试求解方程 代入初值y 1 1 y 2 1解得 解 特征方程为 特征根为 例7 7 求差分方程y n 6y n 1 12y n 2 8y n 3 x n 的齐次解 求特解 步骤 1 根据自由项形式 确定特解函数2 将特解代入左端 求出待定系数 解 齐次解形式 3 完全解 齐次解 特解 特解由自由项的形式决定 特征根为单根时 特征根为K重根时 例7 9 求某线性时不变系统 y n 2y n 1 x n x n 1 的完全响应 其中x n n2 y 1 1 2 y n 2y n 1 2n 1因此特解为D1n D2 3 代入初值y 1 1 例 如果在第n个月初向银
7、行存款x n 元 月息为a 每月利息不取出 试用差分方程写出第n个月初的本利和y n 设x n 10元 a 0 003 y 0 0 求y 12 齐次解为 特征根为 设特解为D 将D代入原方程 全解为 根据初始条件y 0 0求得 解 根据题意可得 7 4零输入响应与零状态响应 7 4 1零输入响应与零状态响应 当激励x n 0时 由系统的起始状态y 1 y 2 y N 所产生的响应 它是齐次解的形式 即它是自由响应的一部分 当起始状态y 1 y 2 y N 0时 由系统的激励x n 所产生的响应 它是自由响应的另外部分 强迫响应 起始状态 对于N阶离散时间系统而言称y 1 y 2 y N 为系统
8、的起始状态 解 1 2 设 3 4 解 二重根 设 是全响应 若求 解 1 系统的特征根为0 9 因此齐次解为 c 0 9 n 由y 1 0可求出c 0 45 所以 y n 0 45 0 9 n 0 5n 0 设特解为D 所以y n c 0 9 n 0 5 注意根据题意可以看出 y即为零状态响应 2 根据题意可得零状态响应即为 1 的结果 再求零输入响应 此时方程右侧为0 只有齐次解 令 由y 1 1可求出czi 0 9 完全响应 所以 yzs n 0 45 0 9 n 0 5n 0 因此 7 4 2单位样值响应h n h n 的求法 1 迭代法2 等效法 将输入转化为初始条件 h n 当激励
9、为 n 时系统的零状态响应 换句话说 系统当起始状态为零时 由 n 作用于系统时的响应 一 系统的样值响应及其求解 解 由题意可得 h 1 0 x 1 1 0 y n 0 5y n 1 x n h n 0 5h n 1 n 齐次解的形式 h 0 0 5h 1 0 1 h 1 0 5h 0 1 0 5 h 2 0 5h 1 2 0 5 2 h n 0 5h n 1 2 0 5 n 例7 12 已知y n 0 5y n 1 x n 试求其单位样值响应h n 1 迭代法 2 等效法 将输入 n 转化为初始条件 y n 0 5y n 1 x n 由h 1 0通过上述差分方程可迭代出h 0 1 将h 0
10、 1作为边界条件 特征根为 由h 0 1可求出C 1 利用线性时不变特性 解 这样 求齐次解 写出特征方程 齐次解为 由迭代出 将作为边界条件 可求出 1 先求 2 系统的单位样值响应 阶跃响应与样值响应关系 n u n u n 1 由系统的线性是不变性可得 h n g n g n 1 即系统的样值响应与阶跃响应之间存在差分关系 样值响应等于阶跃响应的差分 系统的稳定性 如果系统输入是有界的 输出也有界的系统 如果系统是稳定系统充分必要条件 二 系统的因果性及稳定性 系统的因果性 系统的响应y n 只与此时及此时以前的激励有关 如果系统是因果系统充分必要条件 当n 0时 h n 0 例 是判断
11、下列系统的稳定性及因果性 2 y n 3e n 3 3 y n 3e n 3 7 5卷积 7 5 1卷积和定义 7 5 2卷积法求零状态响应 设 则 1 交换律 结合律和分配律 1 交换律 7 5 3卷积的性质 2 结合律 3 分配律 2 移位性质 3 其它性质 解法1 对位相乘求和法 即 将序列样值以各自n的最高值按右端对齐 7 5 4卷积的计算 解法二 矩阵法 例 补充 某系统h n anu n 0 a 1x n u n u n N 求y n x n h n 图解法 1 当n 0时 h n m 和x m 相乘为零 y n 0 2 当时 3 当时 作业 7 4 1 7 97 11 4 7 12 1 7 137 147 28 7 8 7 29 1 3 7 33 第七章离散时间系统的时域分析 离散时间系统 离散时间信号 反卷积 数学模型 差分方程的求解方法 序列的概念 序列的运算 迭代法 经典法 零输入 零状态法 卷积和法
