1、第5章数组和广义表 学习要点 了解数组在以行序为主的存储中的地址计算方法 掌握特殊矩阵和稀疏矩阵的存储方法 掌握广义表的结构特点及其存储表示方法 5 1数组的基本概念 a00a01 a0 n 1a10a11 a1 n 1 am 1 0am 1 1 am 1 n 1 Am n 数组是我们最熟悉的数据类型 在早期的高级语言中 数组是唯一可供使用的数据类型 由于数组中各元素具有统一的类型 并且数组元素的下标一般具有固定的上界和下界 因此 数组的处理比其它复杂的结构更为简单 多维数组是向量的推广 例如 二维数组可看成由若干个行向量组成的向量 也可以看成是若干个列向量组成的向量 5 1数组的定义和特性
2、二维数组可看成一个线性表A a0 a1 ap p m 1或n 1 其中aj是一个列向量形式的线性表 aj a0j a1j am 1 j 0 j n 1或ai是一个行向量形式的线性表 ai ai0 ai1 ai n 1 0 i m 1 a00a01 a0 n 1a10a11 a1 n 1 am 1 0am 1 1 am 1 n 1 a00a01 a0 n 1a10a11 a1 n 1 am 1 0am 1 1 am 1 n 1 a0a1 ap a0a1 ap 5 2数组的顺序表示与实现 由于计算机的内存结构是一维的 用一维内存来表示多维数组 就必须按某种次序将数组元素排成一列序列 然后将这个线性
3、序列存放在存储器中 通常有两种顺序存储方式 1 行优先顺序 将数组元素按行排列 第i 1个行向量紧接在第i个行向量后面 以二维数组为例 其存储线性序列为 a00 a01 a0 n 1 a10 a11 a1 n 1 am 1 0 am 1 n 12 列优先顺序 将数组元素按列向量排列 第j 1个列向量紧接在第j个列向量之后 二维数组按列优先顺序存储的线性序列为 a00 a10 am 1 0 a01 a11 am 1 1 am 1 1 an 1 m 1 a00a01 a0 n 1a10a11 a1 n 1 am 1 0am 1 1 am 1 n 1 a00a01 a0 n 1a10a11 a1 n
4、 1 am 1 0am 1 1 am 1 n 1 行优先顺序 列优先顺序 数组的顺序表示与实现 按上述两种方式顺序存储的数组 只要知道开始结点的地址 维数和每维的上 下界 以及每个数组元素所占用的单元数 就可以将数组元素存放地址表示为其下标的线性函数 例如 二维数组Amn按 行优先顺序 存储在内存中 假设每个元素占用L个存储单元 元素aij的存储地址应是数组的基地址加上排在aij前面的元素所占用的单元数 因为aij位于第i 1行 第j 1列 前面i行一共有i n个元素 第i 1行上aij前面又有j个元素 故它前面一共有i n j个元素 因此 aij的地址计算函数为 LOC i j LOC 0
5、0 i n j L 数组的顺序表示与实现 在科学与工程计算问题中 矩阵是一种常用的数学对象 在高级语言编制程序时 就是将一个矩阵描述为一个二维数组 矩阵在这种存储表示之下 可以对其元素进行随机存取 各种矩阵运算也非常简单 但是在矩阵中非零元素呈某种规律分布或者矩阵中出现大量的零元素的情况下 实际上占用了许多单元去存储重复的非零元素或零元素 这对高阶矩阵会造成极大的浪费 为了节省存储空间 我们可以对这类矩阵进行压缩存储 即为多个相同的非零元素只分配一个存储空间 对零元素不分配空间 5 3特殊矩阵的压缩存储 对称矩阵若n阶矩阵A中的数据元素满足下述性质aij aji 1 i j n 则称A为n阶对
6、称矩阵 因aij与aji相等 二者只需分配一个存储单元 这样 可将n n个存储单元压缩到n n 1 2个单元 5 3 1对称矩阵 1357326956387984 a11a12 a1na21a22 a2n an1an2 ann 为节约存储空间 只存对角线及对角线以上的元素 或者只存对角线及对角线以下的元素 不失一般性 假设以行主序存储下三角 包括对角线 中的元素 以一维数组sa n n 1 2 作为n阶对称矩阵A的存储结构 则sa k 和矩阵元aij之间存在着一一对应的关系 i i 1 2 j 1当i jj j 1 2 i 1当i j 对称矩阵 k 若i j 则aij在下三角形中 aij之前的
7、i 1行 从第1行到第i 1行 一共有1 2 i 1 i i 1 2个元素 在第i行上 aij之前恰有j 1个元素 因此有 k i i 1 2 j 1若i j 则aij是在上三角矩阵中 因为aij aji 所以只要交换上述对应关系式中的i和j即可得到 k j j 1 2 i 1注意 k从0开始 i j从1开始 对称矩阵 5 3 2三角矩阵 以主对角线划分 三角矩阵有上三角和下三角两种 上三角矩阵是它的下三角 不包括主对角线 中的元素均为常数或零 下三角矩阵正好相反 它的主对角线上方均为常数或零 三角矩阵中的重复元素c可共享一个存储空间 其余的元素正好有n n 1 2个 因此 三角矩阵可压缩存储
8、到一维数组sa n n 1 2 1 中 其中c存放在向量的最后一个分量中 i i 1 2 j 1当i jn n 1 2当i j k 三角矩阵 a11cc ca21a22c c can1an2an3 ann 如果矩阵中的所有的非零元素都集中在以主对角线为中心的带状区域则称为对角矩阵 即除了主对角线和主对角线相邻两侧的若干条对角线上的元素之外 其余元素皆为零 如常见的三对角矩阵 三角矩阵 5 3 3对角矩阵 a11a120 0a21a22a230 00a32a33a340 0 00 an 1 n 2an 1 n 1an 1 n00 an n 1ann 对角矩阵 非零元素仅出现在主对角线aii 1
9、i n 上 以及紧邻主对角线上面的那条对角线上ai i 1 1 i n 1 和紧邻主对角线下面的那条对角线ai 1 i 1 i n 1 上 显然 当 i j 1时 元素aij 0 主对角线元素aii所在位置分别是一维数组下标为0 3 6 9 而主对角线上面元素ai i 1所在位置分别是一维数组下标为1 4 7 10 主对角线下面的那条对角线ai 1 i所在位置分别是一维数组下标为2 5 8 11 设矩阵Amn中有s个非零元素 若s远远小于矩阵元素的总数 即s m n 则称A为稀疏矩阵 稀疏矩阵的三元组表表示在存储稀疏矩阵时 为了节省存储单元 很自然地想到使用压缩存储方法 但由于非零元素的分布一
10、般是没有规律的 因此在存储非零元素的同时 还必须同时记下它所在的行和列的位置 i j 一个三元组 i j aij 唯一确定了矩阵A的一个非零元素 因此 稀疏矩阵可由表示非零元素的三元组及其行列数唯一确定 5 4稀疏矩阵的压缩存储 例如 M由 1 2 12 1 3 9 3 1 3 3 6 14 4 3 24 5 2 18 6 1 15 6 4 7 和矩阵维数 6 7 唯一确定 稀疏矩阵 三元组顺序表假设以顺序存储结构来表示三元组表 则可得到稀疏矩阵的一种压缩存储方法 三元顺序表 defineMAXSIZE12500 非零元个数最大值typedefstruct inti j 行下标和列下标Elem
11、Typee Triple typedefstruct Tripledata MAXSIZE 1 非零元三元组表intmu nu tu 行数 列数 非零元个数 TSMatrix 5 4 1三元组表 下面以矩阵的转置为例 说明稀疏矩阵的存储 一个m n的矩阵M 它的转置T是一个n m的矩阵 且T i j M j i 1 i n 1 j m 即M的行是T的列 T的列是M的行 将M转置为T 就是将M的三元组表M data置换为表T的三元组表T data 如果只是简单地交换M data中i和j的内容 那么得到的T data将是一个按列优先顺序存储的稀疏矩阵T 要得到按行优先顺序存储的T data 就必须
12、重新排列三元组的顺序 矩阵的转置 三元组表M data 6 4 7 6 1 15 5 2 18 4 3 24 3 5 14 3 1 3 1 3 9 1 2 12 三元组表T data 4 6 7 1 6 15 2 5 18 3 4 24 5 3 14 1 3 3 3 1 9 2 1 12 由于M的列是T的行 按M data的列序转置 所得到的转置矩阵T的三元组表T data必定是按行优先存放 思路 反复扫描M data中的列序 从小到大依次进行转置 矩阵转置方法一 6 4 7 6 1 15 5 2 18 4 3 24 3 5 14 3 1 3 1 3 9 1 2 12 三元组表a data 三
13、元组表b data StatusTransPoseSMatrix TSMatrixM TSMatrix 矩阵转置算法 col 1 col 2 矩阵的转置方法一的演示 依次把M data中的元素直接送入T data的恰当位置上 即M三元组的p指针不回溯 矩阵转置方法二 6 4 7 6 1 15 5 2 18 4 3 24 3 5 14 3 1 3 1 3 9 1 2 12 设两个数组num col 表示矩阵M中第col列中非零元个数cpot col 指示M中第col列第一个非零元在T data中位置显然有 cpot 1 1 cpot col cpot col 1 num col 1 1 col
14、M nu 矩阵转置具体实现 1 3 5 7 8 8 9 col num col cpot col 1 2 2 2 3 2 4 1 5 0 6 1 7 0 012900000000000 3000014000240000018000001500 7000 M StatusFastTransposeSMatrix TSMatirxM TSMatirx 矩阵转置算法 实现过程演示 4 6 2 9 7 5 3 广义表是线性表的推广 即广义表中放松对表元素的原子限制 容许它们具有其自身结构 广义表是n n 0 个元素a1 a2 ai an的有限序列 其中 ai或者是原子 单个元素 或者是一个广义表 广义
15、表记作LS a1 a2 ai an LS是广义表的名字 n为它的长度 若ai是广义表 则称它为LS的子表 注意 广义表通常用圆括号括起来 用逗号分隔其中的元素 若广义表LS非空 n 1 则a1是LS的表头 其余元素组成的表 a2 a3 an 称为LS的表尾 广义表是递归定义的 5 5广义表 1 A A是一个空表 其长度为零 2 B e 表B只有一个原子e B的长度为1 3 C a b c d 表C的长度为2 两个元素分别为原子a和子表 b c d 4 D A B C 表D的长度为3 三个元素都是广义表 显然 将子表的值代入后 则有D e a b c d 5 E a E 这是一个递归的表 它的长
16、度为2 E相当于一个无限的广义表E a a a a 5 5 1广义表的定义 由表头 表尾的定义可知 任何一个非空广义表其表头可能是原子 也可能是广义表 而其表尾必定是广义表 A e 则 gethead A egettail A B a b c d e f 则 gethead B a b gettail B c d e f C a b c d 则 gethead C agettail C b c d 注意 广义表 和 不同 前者是长度为0的空表 对其不能做求表头的和表尾的运算 而后者是长度为1的非空表 只不过该表中唯一的一个元素是空表 对其可进行分解 得到表头和表尾均为空表 广义表表示 由于广义
17、表 a1 a2 a3 an 中的数据元素可以具有不同的结构 或是原子 或是广义表 因此 难以用顺序存储结构表示 通常采用链式存储结构 每个数据元素可用一个结点表示 由于广义表中有两种数据元素 原子或广义表 因此 需要两种结构的结点 一种是表结点 一种是原子结点 下面介绍两种广义表的链式存储结构 5 5 2广义表的存储结构 方法一 表结点由三个域组成 标志域 指示表头的指针域和指示表尾的指针域 而原子域只需两个域 标志域和值域 广义表的存储结构 其类型定义如下 typedefenum ATOM LIST Elemtag typedegstructGLNode Elemtagtag union atomtypeatom struct structGLNode hp tp ptr GList 广义表的存储结构 广义表的存储结构示例 1 A 2 B e 3 C a b c d 4 D A B C 5 E a E 广义表的存储结构
