1、第8章离散时间系统的z域分析 8 1离散信号的z变换及收敛域 8 2z逆变换 8 3z变换的基本性质 8 4利用z变换解差分方程 8 5离散系统的系统函数 主讲 黄慧 1 Z变换 性质及其收敛域 2 利用z变换求解差分方程 3 离散系统的系统函数 4 系统稳定性及因果性 本章主要内容 8 1离散信号的z变换及收敛域 z变换的定义可以由取样信号的拉氏变换引出 也可以直接对离散信号给予定义 8 1 1z变换定义 x n 的双边z变换 x n 的单边z变换 Z 对z变换式的理解 对z变换式的说明 8 1 2典型离散序列的z变换 一 单位样值序列 二 单位阶跃序列 Z 三 斜变序列 上式两边分别对z
2、1求导 得 两边乘以z 1 得 Z 2 左边指数序列 Z 四 指数序列 1 右边指数序列 Z 结论 左边序列收敛域为圆外的部分 左边序列收敛域为圆内部分 双边序列收敛域是怎样的呢 两个不同的序列对应于相同的z变换 但z变换收敛域不同 例 已知序列为x n anu n bnu n 1 求它的z变换 并确定收敛域 解 例 x n 2nu n 3nu n 1 的z变换 并确定收敛域 结论 双边序列收敛域为一个圆环 结论 收敛域内不包含任何极点 以极点为边界 有限长序列的收敛域为整个z平面 可能除去z 0和z 右边序列的ROC为的圆外 左边序列的ROC为的圆内 双边序列的ROC为的圆环 ROC ROC
3、 五 单边正 余弦序列 令指数序列中 那么 同理 8 1 3z变换的收敛域 收敛域 对序列x n 能满足级数绝对可和所有z的范围 同时表达式也应有意义也即z在0和无穷大处 1 有限长序列的收敛域 2 右边序列的收敛域 3 左边序列的收敛域 4 双边序列的收敛域 1 有限长序列 有始有终序列 这类序列只在有限的区间具有非零的有限值 此时z变换为 收敛域为整个z平面 但应注意z 0及无穷不一定能够取到 例如 x n u n u n 3 例如 x n u n 1 u n 3 2 右边序列 这类序列是有始无终的序列 即当n n1时x n 0 此时z变换为 若满足 则其级数收敛 即 结论 右边序列的收敛
4、域是半径Rx1的圆外部分 例如 y n 2nu n 收敛域为 z 2 3 左边序列 这类序列是无始有终的序列 n n2时x n 0 此时z变换为 若令m n 上式变为 如果将变量再改为n 则 则该级数收敛 结论 左边序列的收敛域是半径为Rx2的圆内部分 例如 y n 2nu n 1 收敛域为 z 2 例如 y n 2nu n 1 y n 的z变换 收敛域为 2 z 考虑收敛域问题都应注意z 0及无穷处函数是否有定义 例如 y n 2nu n 1 y n 的z变换 收敛域为 0 z 2 4 双边序列 无始无终序列 双边序列是从n 到n 的序列 一般可写为 显然 可以把它看成右边序列和左边序列的z
5、变换迭加 那么当 X z 的收敛域就为圆环 n1 n2 例 求序列x n anu n bnu n 1 的z变换 并确定收敛域 b a b 0 a 0 解 由例1的结果可直接得到 因为b a 这样得到 结论 ROC内不包含任何极点 以极点为边界 有限长序列的ROC为整个z平面 可能除去z 0和z 右边序列的ROC为的圆外 左边序列的ROC为的圆内 双边序列的ROC为的圆环 ROC ROC 8 2z逆变换 8 2 1幂级数展开法 长除法 若x n 为右边序列 则 若x n 为左边序列 则 z逆变换有幂级数展开法 部分分式展开法 留数法等 对于右边序列 按照z的降幂排列或者z 1的升幂排列 对于左边
6、序列 按照z的升幂排列或者z 1的降幂的排列 2 x n 为左边序列 这时X z 的分子与分母按z的升幂 或z 1的降幂 次序排列 令 n替换n 8 2 2部分分式展开法 通常序列的z变换是z的有理函数 所以 解 因为 z变换的基本形式是 步骤 通常先将展开 然后每个分式再乘以z 例8 5 求的逆变换x n 收敛域为 又因为 所以是因果序列 因此 一般形式 解 所以 例2求的逆变换x n 收敛域为1 z 2 例 草稿 解 8 3z变换的基本性质 一 线性性质 例8 6 求序列anu n anu n 1 的z变换 零极点相消 收敛域扩大为整个z平面 二 位移性 1 双边z变换 2 单边z变换 1
7、 左移位性质 2 右移位性质 原序列不变 只影响在时间轴上的位置 1 双边z变换的位移性质 2 单边z变换的位移性质 若x n 为双边序列 其单边z变换为 1 左移位性质 2 右移位性质 而左移位序列的单边z变换不变 例8 8已知差分方程式y n 0 9y n 1 0 05u n 边界条件y 1 1 用z变换的方法求系统响应y n 与例7 10 2 相同 解 对差分方程式左右同求z变换得 Y z 0 9z 1 Y z y 1 z 0 05z z 1 整理得 三 z域微分 序列线性加权 Z Z 解 四 序列指数加权 z域尺度变换 Z 例如 3nu n 例如 3 nu n 五 初值定理 则 六 终
8、值定理 应用条件 X z 的极点必须处于单位圆内 或在z 1处 一阶 例如 y 0 0 y 不存在 y 0 0 y 2 5 七 时域卷积定理 解 因为 已知两序列x n h n 的z变换为 则 Z 例8 11 求下列两单边指数序列的卷积 2 把Y z 展成部分分式形式 得 其逆变换为 Z 8 4利用z变换解差分方程 举例 因此 全响应为 1 通常系统差分方程 令 则 离散系统的系统函数 8 5离散系统的系统函数 8 5 1系统函数与单位样值响应 如果激励x n 为因果序列 且系统处于零状态 则 我们称H z 为离散系统的系统函数 它表示系统的零状态响应的z变换与激励信号的z变换的比值 Z 系统
9、函数H z 与单位样值响应h n 是一对z变换 对上式取z逆变换 解 对上述差分方程取z变换 8 5 2系统函数的零极点分布对系统特性的影响 1 由系统函数的零极点分布确定单位样值响应 2 离散时间系统的稳定性与因果性 要使离散系统稳定的充分必要条件是单位样值响应绝对可和 Z 令则 离散系统稳定的充分必要条件是H z 的收敛域必须包含单位圆 下面讨论几种不同的系统 1 因果系统 h n 为因果信号 收敛域为 即 H z 的全部极点落在单位圆内 由于收敛域应包含单位圆 所以 2 若h n 为左边序列 收敛域为 由于收敛域应包含单位圆 所以 即 H z 的全部极点落在单位圆外 收敛域为 即 H z
10、 有些极点落在单位圆内 有些极点落在单位圆外 由于收敛域应包含单位圆 所以 3 若h n 为双边序列 解 因果 稳定 因果 非稳定 非因果 稳定 例 检验下列系统的因果性和稳定性 非因果 稳定 解 1 将差分方程两边取z变换 得 于是 H z 的极点为0 4和 0 6 都在单位圆内 且为因果系统 所以 收敛域为 z 0 6 因此该系统是稳定的 2 将H z z展成部分分式 得到 3 若激励x n u n 则 例 对有一离散因果线性时不变系统 差分方程为 求系统函数H z 及h n 并说明它的收敛域及系统的稳定性 若不稳定 求一个满足该差分方程的稳定 非因果 单位样值响应 解 1 将差分方程两边取z变换 得 2 对H Z 求反变换得 由于系统为因果系统收敛域为 由于系统收敛域为 圆外部分且不包含单位圆 因此系统不稳定 若要求系统稳定 则收敛域包含单位圆 即是 因此系统的单位样值响应为 第八章习题 教材下册第八章p103 p109 8 1 3 9 8 5 8 12 8 13 1 2 8 21 2 8 23 8 25 8 27 8 29 8 2 8 18 8 10 2
