1、第三章复变函数的积分 3 1复积分的概念 3 2Cauchy积分定理 3 3Cauchy积分公式 3 4解析函数的高阶导数 与实函数中二型线积分类比 3 1复积分的概念 1 积分的定义2 积分存在的条件及其计算法3 积分性质 1 积分的定义 定义 2 积分存在的条件及其计算法 定理 证明 由曲线积分的计算法得 例1 解 3 积分性质 由积分定义得 解 例2 可见 在本题中 C的起点与终点虽然相同 但路径不同 积分的值也不同 练习 2 C 左半平面以原点为中心逆时针方向的单位半圆周 解 1 2 参数方程为 可见积分与路径有关 例3 解 1 0 1 2 0 0 0 n n i z z dz z z
2、 dz r z z n C n p 例如 例4 证明 例如 练习 例5 解 又解 例6 解 可见 积分与路径无关仅与起点和终点有关 分析上节的积分例子 3 2Cauchy积分定理 由此猜想 复积分的值与路径无关或沿闭路的积分值 0的条件可能与被积函数的解析性及解析区域的单连通有关 先将条件加强些 作初步的探讨 也称Cauchy Goursat定理 1 Cauchy积分定理 3 定理中曲线C不必是简单的 如下图 推论设f z 在单连通区域B内解析 则对任意两点z0 z1 B 积分 cf z dz不依赖于连接起点z0与终点z1的曲线 即积分与路径无关 2 原函数与不定积分的概念 由Cauchy积分
3、定理知 设f z 在单连通区域B内解析 则对B中任意曲线C 积分 cf z dz与路径无关 只与起点和终点有关 当起点固定在z0 终点z在B内变动 cf z dz在B内就定义了一个变上限的单值函数 记作 定理设f z 在单连通区域B内解析 则F z 在B内解析 且 上面定理表明是f z 的一个原函数 设H z 与G z 是f z 的任何两个原函数 3积分计算公式 定义设F z 是f z 的一个原函数 称F z c c为任意常数 为f z 的不定积分 记作 定理设f z 在单连通区域B内解析 F z 是f z 的一个原函数 则 此公式类似于微积分学中的牛顿 莱布尼兹公式 但是要求函数是解析的 比
4、以前的连续条件要强 例1计算下列积分 例2计算下列积分 解1 解2 复合闭路定理 4 基本定理推广 复合闭路定理 证明 B A A E E F F G H 说明 此式说明一个解析函数沿闭曲线的积分 不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的积分值 只要在变形过程中曲线不经过的f z 的不解析点 闭路变形原理 例 解 练习 解 小结求积分的方法 分析 3 3Cauchy积分公式 猜想积分 定理 Cauchy积分公式 证明 一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值 例1 解 例2 解 例3 解 解 例4 形式上 以下将对这些公式的正确性加以证明 3 4解析函数的高阶导数 定理 证明用数学归纳法和导数定义 依次类推 用数学归纳法可得 一个解析函数的导数仍为解析函数 例1 解 练习
