1、第七章 振动和波动学基础 基本要求 一 掌握描述简谐振动的各物理量 特别是相位 及各量之间的关系 二 掌握旋转矢量法 三 掌握简谐振动的基本特征 能建立一维简谐振动的微分方程 能根据初始条件写出一维谐振动的振动方程 并理解其物理意义 四 理解两个同方向 同频率的简谐振动的合成规律 机械振动 物体在一定位置附近作来回往复的运动 广义振动 任一物理量 如位移 电流等 在某一数值附近反复变化 机械振动 电磁振动 振动有各种不同的形式 简谐振动 谐振动 物体振动时 离开平衡位置的位移x 或角位移 随时间t的变化可表示为余弦函数或正弦函数 弹簧振子 平衡位置 7 1简谐振动 S H M 一维弹簧振子模型
2、 弹簧 物体系统 所受合外力为零的位置 一 简谐振动方程 1 动力学特征 系统受力 物体在平衡位置的两侧 在弹性恢复力和惯性两个因素互相制约下 不断重复相同的运动过程 2 运动学特征 由牛顿定律 得 令 3 运动方程 谐振动的运动方程 振动方程 得谐振动的微分方程 x t关系曲线称振动曲线 简谐振动特点 1 等幅振动 2 周期振动 4 简谐振动的特征 动力学特征 运动学特征 拍皮球时 球的运动是否是简谐振动 受弹性或准弹性回复力 加速度与位移成正比且反向 位移是时间的正余弦函数 合外力与位移成正比且反向 2 小球在半径很大的光滑凹球面底部作小幅振动 切向运动 因为 很小 所以 令 二描述简谐振
3、动的特征量 1 振幅A 最大位移的绝对值 谐振动方程 2 周期 频率和角频率 1 周期T 完成一次全振动所需的时间 弹簧振子 参考圆的半径 2 频率 单位时间内完成全振动的次数 3 角频率 旋转矢量的角速度 亦称圆频率 1 相位 t 决定物体的振动状态或旋转矢量在参考圆上的位置 1 t 可确定t时刻的x v a的大小和方向 2 2 初相 t 0时刻的相位 3 相位和初相 突出了振动的周期性 4 决定简谐振动各特征量的因素 弹簧振子系统 1 T和 由振动系统本身的性质 弹性k和惯性m 决定 T 固有周期 固有频率 2 A和 由初始条件确定 A和 的确定 初始条件 振动方程 初始条件 在 之间有两
4、个值 要由初始条件判断取舍 注意 7 9 7 10 初速度 初位移 三 简谐振动的速度 加速度 1 速度 2 加速度 作坐标轴Ox 四 简谐振动的旋转矢量表示法 矢量图解法 以角速度 绕O点逆时针旋转 旋转矢量 P点的位移 其矢端M在x轴投影 初始时与x轴夹角为 t时刻与x轴夹角为 t 其大小为A P点的运动规律 简谐振动 t 0 自原点作一矢量 五 简谐振动的能量 3 总能 结论 简谐振动的总能量与振幅的平方成正比且守恒 1 动能 2 势能 1 在运动过程中 动能和势能相互转换 说明 2 总机械能保持不变 且与振幅的平方成正比 3 动能和势能的极大值相等 4 能量平均值 简谐振动系统的动能和
5、势能在一个周期内的平均值相等 且等于总能量的一半 结论 简谐振动的重要特征 1 简谐振动的特征 1 动力学特征 2 运动学特征 3 能量特征 外力与位移正比反向 六 小结 加速度与位移正比反向 常量 位移是时间的周期函数 2 研究谐振动问题的基本方法 1 解析法 2 曲线法 3 旋转矢量法 例1 一放置在水平桌面上的弹簧振子 周期为0 5s 当t 0时 x0 1 0 10 2m v0 0 218m s 1 求 振动方程 解 得 已知 t 0 例2 一轻弹簧竖直悬挂 下端重物质量m 0 1kg 平衡时弹簧伸长l 9 8 10 2m 今使物体在平衡位置获得向下的初速度v0 1m s 1 则物体将在
6、竖直方向运动 求 1 运动方程 2 最大回复力 选平衡位置为坐标原点如图 平衡时 位移为x时 所以物体做谐振动 且有 解 1 由已知得 振动方程为 2 最大回复力 由初始条件得 例3 已知某质点谐振动曲线如图 试写出振动方程 由图知 A 2m 解 振动方程 t 0时 得 系统受力矩 由转动定律 单摆的运动是谐振动 例4 单摆 令 得 周期 振动方程 说明 1 单摆周期T与摆锤的质量m无关 4 较大时 2 由T l可测量该地的重力加速度g 3 单摆在小角度近似下为谐振动 振动方程 例5一任意形状的刚体 支在过0点的光滑水平轴上 使刚体偏离平衡位置后释放 刚体就在平衡位置附近来回摆动 这样的摆叫复
7、摆 也叫物理摆 如图所示 刚体质量为m 质心为c 质心至转轴的距离为l 且知刚体对该轴的转动惯量为J 求其以小角度摆动的周期 说明 1 小角度近似下为谐振动 系统受力矩 周期 角频率 很小时 振动方程 2 可测量物体对转轴的转动惯量J 例六一立方形木块浮于静水中 其浸入部分的高度为a 今用手指沿竖直方向将其慢慢压下 使其浸入部分的高度为b 如图所示 然后放手任其运动 试证明若不计水的粘滞阻力 木块的运动是谐振动 并求出振动的周期和振幅 解 建立x坐标如图 平衡位置 任意位置 是谐振动 令 得 初始条件 振动方程 周期 角频率 例7 质量为m的平底船 平均截面积为S 吃水深度为h 设水的密度为
8、不计水的阻力 求 此船在竖直方向的振动周期T 解 此船静浮时 浮力 重力 取x轴如图 合力F与位移x正比反向 船在竖直方向作谐振动 角频率 船所受的合力 周期 例8 劲度系数为k的轻弹簧一端固定在墙上 另一端连结一质量为m的物体 跨过一质量为M 半径为R的定滑轮 平衡时弹簧伸长l 如图 求 该系统的振动圆频率 以平衡位置为坐标原点 向下为正建立x坐标 解 在平衡位置处 m运动到x处时 分析受力情况如图 解上面的方程组得 系统的振动圆频率 例9 一物体沿x轴作谐振动 振幅为0 24m 周期为2s 当t 0时x0 0 12m 且向x轴正方向运动 求 1 振动方程 2 从x 0 12m 且向x轴负方
9、向运动的状态回到平衡位置所需的最短时间 当t 0时 x0 0 12m v0 0 为确定初相 画出t 0时旋转矢量图 由题知 解 1 振动方程为 求从x 0 12m 且向x轴负方向运动的状态 回到平衡位置所需的最短时间 一 同振向 同频率谐振动的合成 7 2简谐振动的合成 1 数学分析法 则上式得 结论 1 同振向同频率谐振动的合成仍为谐振动 2 合振动的频率与两分振动的频率相同 3 合振动振幅和初相由下式决定 7 17 7 16 7 18 2 旋转矢量法 3 相位差 两同频率谐振动的相位差 初相差 4 同相和反相 1 同相 两振动步调相同 振动加强 同相 合振幅最大 2 反相 两振动步调相反
10、振动减弱 反相 合振幅最小 当A1 A2时 静止 5 超前和落后 则称 x2比x1超前 或x1比x2落后 x2比x1超前 6 多个同振向 同频率谐振动的合成 采用旋转矢量法 各分振动矢量首尾依次相接 若 例1 有两个振动方向相同的谐振动 其振动方程分别为 问 当 3为何值时 x1 x3的振动为最大值 当 3为何值时 x1 x3的振动为最小值 解 1 同振向 同频率谐振动合成后还是谐振动 2 另有一同方向的谐振动 1 求合振动方程 振动方程为 2 当时同相 即振幅最大 当时反相 即振幅最小 得 二 同振向 不同频率谐振动的合成 拍 相位差随时间变化 合振动不再是简谐振动 为使讨论简便 设两振动的
11、A1 A2 1 2 0 合振动方程为 合振动频率 合振动振幅 讨论 两频率都较大 而频率差很小的情况 合振幅出现时大时小的现象 拍现象 拍频 单位时间内合振幅极大出现的次数 振幅变化的周期为 7 25 拍现象的应用 用音叉振动校准乐器测定超声波测定无线电频率调制高频振荡的振幅和频率等 三 同振向倍频谐振动的合成 一 相互垂直的同频率谐振动的合成 消去参数t 得轨迹方程 是一个椭圆类二次曲线方程 三相互垂直振向简谐振动的合成 7 31 1 2 轨迹 运动方程 是谐振动 角频率与初相不变 轨迹 运动方程 是谐振动 角频率与初相不变 两个分振动同相 两个分振动反相 讨论 3 4 轨迹 是椭圆运动 方
12、向时顺时针 右旋 轨迹 是椭圆运动 方向时逆时针 左旋 y比x相位超前 2 y比x相位落后 2 A B时 为圆轨道 即作圆周运动 图7 12 二 垂直方向不同频率简谐振动的合成 1 两分振动频率相差很小 可看作两频率相等而 2 1随 缓慢变化 合运动轨迹将按图依次循环地缓慢变化 测量谐运动的频率和相互垂直的两个简谐振动的相位差 合振动轨道一般不是封闭曲线 但当频率有简单整数比关系时 是稳定的封闭曲线 称为 李萨如图形 2 两振动的频率相差很大 图7 13 系统受到摩擦力的作用 克服阻力作功 系统的振动能量转化为热能 振动以波的形式向外传播 使振动能量向周围幅射出去 一 阻尼振动 阻尼振动 振幅
13、 或能量 随时间减小的振动 7 3阻尼振动受迫振动共振 摩擦阻尼 辐射阻尼 有粘滞阻力时弹簧振子 运动微分方程 阻力 动力学方程 1 阻尼振动运动微分方程 7 36 7 37 称固有角频率 由系统本身性质决定 称阻尼因子 由阻力系数决定 其中 方程 7 37 的解为 阻尼振动角频率 2 弱阻尼 7 38 其中 7 39 阻尼振动周期 7 40 弱阻尼曲线 振幅随时间t作指数衰减 近似为简谐振动 阻尼振动周期比系统的固有周期长 3 临界阻尼和过阻尼 临界阻尼是物体不作往复运动的极限 从周期振动变为非周期振动 振动从开始最大位移缓慢回到平衡位置 不再做往复运动 非周期运动 弱阻尼 临界阻尼 过阻尼 系统在周期性外力持续作用下所发生的振动 二 受迫振动 驱动力 阻尼力 弹性力 受迫振动的运动微分方程 7 41 微分方程的解为 7 42 其振幅为 7 47 三 共振 驱动力的角频率为某定值时受迫振动的振幅达到极大值的现象 共振角频率 共振振幅 由 7 47 式 令 得 7 48 7 49 分析 2 0时 尖锐振动 强迫力的方向永远与物体运动方向相同 A共越大 应用 1 电磁共振选台 收音机 2 乐器利用共振提高音响效果 3 研究避免共振的破坏的措施等 破坏外力 强迫力 的周期性改变系统固有频率改变外力的频率增大系统阻尼力 塔科马海峡大桥的共振断蹋
