1、第三节 分部积分法 第四章 不定积分的基本积分方法 与有理函数的积分 由两个函数乘积的求导法则 积分得 分部积分公式 容易计算 1 容易求得 一 分部积分法 例1求积分 解 一 令 显然 选择不当 积分更难进行 解 二 令 例2求积分 解 令 一般地 把被积函数视为两个函数之积 按 反对幂指三 的 顺序 前者为后者为 例3求积分 解 再次使用分部积分法 例4求积分 解 注意循环形式 说明 也可设 为三角函数 但两次所设类型 必须一致 例6求积分 解 例7求积分 解 令 例8求 解 令 则 原式 例9求 解 令 则 原式 例10求 解 令 则 得递推公式 说明 递推公式 已知 利用递推公式可求得
2、 例如 例11已知 的一个原函数是 求 解 说明 此题若先求出 再求积分反而复杂 二 有理函数的积分 有理函数的定义 两个多项式的商表示的函数称之为有理函数 假定分子与分母之间没有公因式 这有理函数是真分式 这有理函数是假分式 1 有理函数的积分 利用多项式除法 假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和 假分式 多项式除法 多项式 真分式 例 分解 若干部分分式之和 则可设 特殊地 分解后为 特殊地 分解后为 求真分式化为部分分式之和的待定系数 1 对应系数相等法 例 2 赋值法 代入特殊值来确定系数 整理得 取 取 取 并将值代入 例12求积分 解 例13求积分 解 将有理函数化为部分分式之
3、和后 只涉及以下五类求不定积分情况 讨论积分 令 则 这五类积分均可积出 且原函数都是初等函数 例14求积分 例15求 解 说明 将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行 但不一定简便 因此要注意根据被积函数的结构寻求 简便的方法 2 可化为有理函数的积分举例 1 三角函数有理式的积分 三角有理式的定义 由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数称之 一般记为 令 万能代换 t的有理函数的积分 万能公式 令 则 例16求 解 令 则 例17求 解 令 原式 说明 通常求含 的积分时 往往更方便 的有理式 用代换 例18求 解 例19求积分 解 2 简单无理函数的积分 讨论类型 解决方法 作根式代换去掉根号化为有理函数的积分 令 令 令 例20求 解 令 则 原式 例21求积分 解令 原式 例22求积分 解令 说明 无理函数去根号时 取根指数的最小公倍数 作业P2793 1 2 3 11 16 17 5 2 4 5 8 10 18 21 合理选择 正确使用分部积分公式 三 小结 把被积函数视为两个函数之积 按 反对幂指三 的 顺序 前者为后者为 反 反三角函数对 对数函数幂 幂函数指 指数函数三 三角函数 思考题 在接连几次应用分部积分公式时 应注意什么 思考题解答 注意前后几次所选的应为同类型函数 例 第一次时若选 第二次时仍应选
