1、每日一句 平常心最快乐 忙时静心 闲时练心 怒时制心 贪时修心 时时观心 第九章 二 全微分在近似计算中的应用 应用 第三节 一元函数y f x 的微分 近似计算 估计误差 本节内容 一 全微分的定义 全微分 由一元函数微分学中增量与微分的关系得 回顾 一元函数y f x 微分的有关概念 记 或 有限增量公式 由一元函数微分学中增量与微分的关系也有 有限增量公式 如果 由一元函数微分学中增量与微分的关系也有 有限增量公式 如果 一 全微分的定义 定义 如果函数z f x y 在定义域D的内点 x y 可表示成 其中A B不依赖于 x y 仅与x y有关 称为函数 在点 x y 的全微分 记作
2、若函数在域D内各点都可微 则称函数 f x y 在点 x y 可微 处全增量 则称此函数在D内可微 2 偏导数连续 下面两个定理给出了可微与偏导数的关系 1 函数可微 函数z f x y 在点 x y 可微 当函数可微时 得 函数在该点连续 偏导数存在 函数可微 即 定理1 必要条件 若函数z f x y 在点 x y 可微 则该函数在该点的偏导数 同样可证 证 因函数在点 x y 可微 故 必存在 且有 得到对x的偏增量 因此有 反例 函数 易知 但 因此 函数在点 0 0 不可微 注意 定理1的逆定理不成立 偏导数存在函数不一定可微 即 定理2 充分条件 证 若函数 的偏导数 则函数在该点
3、可微分 所以函数 在点 可微 注意到 故有 推广 类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题 例如 三元函数 习惯上把自变量的增量用微分表示 记作 故有下述叠加原理 称为偏微分 的全微分为 于是 例1 计算函数 在点 2 1 处的全微分 解 解 解 所求全微分 可知当 二 全微分在近似计算中的应用 1 近似计算 由全微分定义 较小时 及 有近似等式 可用于误差分析或近似计算 可用于近似计算 半径由20cm增大 解 已知 即受压后圆柱体体积减少了 例3 有一圆柱体受压后发生形变 到20 05cm 则 高度由100cm减少到99cm 体积的近似改变量 求此圆柱体 例4 计算 的近似值 解 设 则 取
4、 则 内容小结 1 微分定义 2 重要关系 定义 3 微分应用 近似计算 估计误差 绝对误差 相对误差 思考与练习 1 P75题5 P129题1 函数 在 可微的充分条件是 的某邻域内存在 时是无穷小量 时是无穷小量 2 选择题 答案 也可写作 当x 2 y 1 x 0 01 y 0 03时 z 0 02 dz 0 03 3 P129题7 4 设 解 利用轮换对称性 可得 注意 x y z具有轮换对称性 答案 作业P751 2 3 6 作业 第四节 5 已知 在点 0 0 可微 备用题 在点 0 0 连续且偏导数存在 续 证 1 因 故函数在点 0 0 连续 但偏导数在点 0 0 不连 证明函
5、数 所以 同理 极限不存在 在点 0 0 不连续 同理 在点 0 0 也不连续 2 3 题目 说明 此题表明 偏导数连续只是可微的充分条件 令 则 题目 练习题 练习题答案 分别表示x y z的绝对误差界 2 误差估计 利用 令 z的绝对误差界约为 z的相对误差界约为 则 特别注意 类似可以推广到三元及三元以上的情形 乘除后的结果相对误差变大很小的数不能做除数 例5 利用公式 求计算面积时的绝对误差与相对误差 解 故绝对误差约为 又 所以S的相对误差约为 计算三角形面积 现测得 例6 在直流电路中 测得电压U 24V 解 由欧姆定律可知 所以R的相对误差约为 0 3 0 5 R的绝对误差约为 0 8 0 3 定律计算电阻为R时产生的相对误差和绝对误差 相对误差为 测得电流I 6A 相对误差为0 5 0 032 0 8 求用欧姆 证 令 则 同理 不存在 说明 此题表明 偏导数连续只是可微的充分条件 令 则 题目
