1、振动 第九章 9 0教学基本要求 9 1简谐运动振幅周期和频率相位 9 2旋转矢量 9 3单摆和复摆 9 4简谐运动的能量 本章目录 物理学第五版 9 5简谐运动的合成 9 7电磁振荡 9 6阻尼振动受迫振动共振 本章目录 9 8简述非线性系统 物理学第五版 二掌握描述简谐运动的旋转矢量法和图线表示法 并会用于简谐运动规律的讨论和分析 一掌握描述简谐运动的各个物理量 特别是相位 的物理意义及各量间的关系 9 0教学基本要求 三掌握简谐运动的基本特征 能建立一维简谐运动的微分方程 能根据给定的初始条件写出一维简谐运动的运动方程 并理解其物理意义 四理解同方向 同频率简谐运动的合成规律 了解拍和相
2、互垂直简谐运动合成的特点 五了解阻尼振动 受迫振动和共振的发生条件及规律 9 0教学基本要求 END 9 1简谐振动的描述 定义 第九章振动 振动的一般概念 什么叫振动 物体在同一路径的一定位置附近作重复往返运动称为机械振动 周期性振动 在T时间内运动状态能完全重复 人类生活在振动的世界里 振动在力学 声学 电学 生物工程 自控等各领域都占有重要的地位 特点 有平衡点 且具有重复性 非周期性振动 在T时间内运动状态不能完全重复 一 定性描述 机械振动分类 2 按产生振动原因分 自由 受迫 自激 参变振动 1 按振动规律分 简谐 非简谐 随机振动 3 按振动位移分 角振动 线振动 4 按系统参数
3、特征分 线性 非线性振动 其中简谐振动是最基本的 存在于许多物理现象中 复杂的振动都可以分解为一些简谐振动的叠加 机械振动的成因 是物体所受的回复力和物体所具有的惯性 简谐振动 是最简单的周期性直线振动 定性定义 以弹簧振子为例 弹簧振子 指由质量可以忽略的弹簧和一个不发生形变的物体 质点 刚体 所组成的振动系统 理想模型 例 火车 汽车的车厢安装在弹簧上大型锅炉的底部都垫有一组弹簧精密车床下的混泥土地基下铺设弹簧垫层 弹簧振子 1 简谐振动的运动学方程 定义 质点 刚体 弹簧振子 理想模型 二 定量描述 k k k x k x 系统 质点 的位移 简谐振动 凡是以时间的正弦或余弦函数表示的运
4、动都是简谐振动 结论 简谐振动的运动学定义 ZD 0 简谐振动的运动学方程 振动方程 谐振动的速度及加速度 任意物理量 只要随时间作余弦变化 都可以广义地认为该量在作简谐振动 1 弹簧振子 2 简谐振动的动力学方程 定义 2 单摆 当时 取逆时针为图中 的正方向 3 复摆 物理摆 取逆时针为图中 的正方向 C点为m的重心 I为m绕O点转动的转动惯量 当时 加速度与位移成正比且反向的运动 就是简谐振动 或者 作简谐振动的物体所受到的作用力 矩与 角 位移成正比且反向 称之回复力 矩 作简谐振动的物体通常称为谐振子 这个物体连同对它施加回复力 矩 的物体一起组成的振动系统 通常称为谐振系统 弹簧振
5、子 机械振动的成因 是物体所受的回复力和物体所具有的惯性 三 简谐振动的运动方程 动力方程关系 微分方程 数学上能严格证明它的解为 其中A 为积分常数 振动的角频率 周期完全由振动系统本身来决定 判断下列情况中 做简谐运动的是 1 小球在地面上作完全弹性的上下跳动 2 织布机的梭子在光滑的水平经线上 在两边冲力作用下往返运动3 汽艇在湖面上作匀速圆周运动 4 轻质弹簧上端固定 下端挂有一定质量的物体 物体上下运动 无平衡位置 平衡位置物体所受的合力 矩 为零 也无平衡位置 往返靠两边的冲力 系统以外的力 其 由系统外力决定 不是系统本身特性所决定 始终受向心力 无往返 4 判断 1 定性 是否
6、有平衡点 受力 矩 为零 2 定量 是否满足运动学方程或动力学方程 3 是否是由系统本身特性决定 简谐振动的几个物理量 周期 物体作一次完全振动所需要的时间 频率 单位时间内物体所作完全振动的次数 圆频率 在2 秒内物体作完全振动的次数 位相或周相 决定运动状态的物理量 状态量 初位相或初周相 决定初始运动状态的物理量 ZD 0 物体在任一时刻t的位移分别与 t T 或 t kT 时刻的位移相等速度相等 运动状态相等 相同的运动状态对应相位差为2 的整数倍 质点在振动一周之内所经历的状态没有一个是相同的 从周相来说 相当于周相经历从到的变化 所以相位是描述物体运动状态的物理量 位相或周相 初位
7、相或初周相 决定初始运动状态的物理量 ZD 0 初始时刻t 0时的相位决定计时起点的运动状态 初始时刻不一定是物体开始振动的时刻物体在振动过程中任何时刻都可以作为计时起点 对应的状态为初始状态 初始条件决定振幅A和初位相 由此可得出 已知 式中x0是初始位移 v0是初速度 端点M点在x轴上投影点P的运动规律 9 2旋转矢量法及相位差 旋转矢量A在t 0时与参考方向x的夹角 初相位j 旋转矢量A在任意t时刻与参考方向x的夹角 相位 与物体在x轴上的简谐振动的规律相同 旋转矢量的末端在半径为A的圆周上作圆周运动 该圆称为参考圆 P 返回 结束 M P M P M P M P M P M P M P
8、 M P M P M P M P M P M P M P M P M P M P M P M P M P M P M P M P M P M P M P M P M P M P M P M P M P M P M P M P M P M P M P M P M P M P M P M P M P M P M P M P M P M P M P M P M P M P M P M P M P M P M P M P M P M P M P M P M P M P x M P M P x M P x 注意 旋转矢量在第速度 象限 1 v 0 M P x 注意 旋转矢量在第速度 象限 1 v 0 M
9、 P x 注意 旋转矢量在第速度 象限 1 v 0 M P x 注意 旋转矢量在第速度 象限 1 v 0 M P x 注意 旋转矢量在第速度 象限 1 v 0 M P x 注意 旋转矢量在第速度 象限 1 v 0 M P x 注意 旋转矢量在第速度 象限 1 v 0 M P x 注意 旋转矢量在第速度 象限 2 v 0 M P x 注意 旋转矢量在第速度 象限 2 v 0 M P x 注意 旋转矢量在第速度 象限 2 v 0 M P x 注意 旋转矢量在第速度 象限 2 v 0 M P x 注意 旋转矢量在第速度 象限 2 v 0 M P x 注意 旋转矢量在第速度 象限 2 v 0 M P
10、x 注意 旋转矢量在第速度 象限 3 v 0 M P x 注意 旋转矢量在第速度 象限 3 v 0 M P x 注意 旋转矢量在第速度 象限 3 v 0 M P x 注意 旋转矢量在第速度 象限 3 v 0 M P x 注意 旋转矢量在第速度 象限 3 v 0 M P x 注意 旋转矢量在第速度 象限 3 v 0 M P x 注意 旋转矢量在第速度 象限 4 v 0 M P x 注意 旋转矢量在第速度 象限 4 v 0 M P x 注意 旋转矢量在第速度 象限 4 v 0 M P x 注意 旋转矢量在第速度 象限 4 v 0 M P x 注意 旋转矢量在第速度 象限 4 v 0 M P x 注
11、意 旋转矢量在第速度 象限 4 v 0 相位差 称振动2超前振动1 若相位差 两频率相同的谐振动 或振动1滞后振动2 振动2超前振动1 称两振动反相 称两振动同步 谐振动的位移 速度及加速度的相位关系 加速度a与x位移反相 例2用旋转矢量比较相位关系 同相 反相 一般情况 例4 已知位相求状态 且向负向运动 例3 已知状态求位相 特别是初位相 或 且向正向运动 例5 已知简谐振动 当时位移为且向负向运动 求 1 振动方程 2 从上述位置运动到且向正向运动时所用的最短时间 解 1 由旋转矢量得 2 由旋转矢量 两位置相位差 3 2 解 或 位相差 或 确定作简谐振动的质点的运动方程 计算系统的固
12、有圆频率 步骤 找系统的平衡位置 以此为坐标原点 假设质点离开平衡位置一段位移 求出这时质点所受的合外力 将合力的表达式与比较 找出相应的 代入中求出 由时质点的运动状态 初始条件 代入位移 速度公式中 确定简谐振动的振幅和初相 由 式和初始条件可求得质点的运动方程 例7 一弹簧振子k 8N m m 2kg x0 3m v0 8m s 求 A j及振动方程 例8 垂直悬挂的弹簧下端系一质量为m的小球 弹簧伸长量为b 例2 垂直悬挂的弹簧下端系一质量为m的小球 弹簧伸长量为b b 自然长度 mg 例2 垂直悬挂的弹簧下端系一质量为m的小球 弹簧伸长量为b b 自然长度 mg 求证 放手后小球作简
13、谐振动 并写出振动方程 用手将重物上托 使弹簧保持自然长度后放手 b 自然长度 静平衡时 mg F kb mg 0 例2 垂直悬挂的弹簧下端系一质量为m的小球 弹簧伸长量为b 用手将重物上托使弹簧保持自然长度后放手 求证 放手后小球作简谐振动 并写出振动方程 b 0 x 平衡位置 自然长度 取静平衡位置为坐标原点 例8 垂直悬挂的弹簧下端系一质量为m的小球 弹簧伸长量为b 用手将重物上托使弹簧保持自然长度后放手 求证 放手后小球作简谐振动 并写出振动方程 任意位置时小球所受到的合外力为 可见小球作谐振动 kx 例9 解 已知 M m h k 证明物从静止落下与板粘在一起后作简谐振动 并求振动的圆频率 原长 选一坐标系 原点在受力平衡处 为简谐振动 由 即 例10 一谐振动的振动曲线如图所示 t 0时 t 1时 例11一物体沿X轴作简谐振动 振幅A 0 12m 周期T 2s 当t 0时 物体的位移x 0 06m 且向X轴正向运动 求简谐振动表达式 解 1 取平衡位置为坐标原点 谐振动方程写为 其中A 0 12m T 2s 初始条件 t 0 x0 0 06m 可得 据初始条件
