1、 复数 章节复习 基础教育系 知识结构梳理 复数的概念 复数 共轭复数 复数相等 复数的模 向量 辐角及辐角主值 复数的表示方法 代数形式 三角形式 几何表示法复数的运算 复数两种形式的四则运算及乘方 开方运算 加减的几何意义 复数几何意义的应用 复数集上的方程 知识要点 一 复数的有关概念 1 复数 形如a bi a b R 的数叫做复数 a b分别叫做它的实部和虚部 注意虚部为b 并非为bi 2 分类 复数a bi a b R 中 当b 0时为实数 当b 0时 叫做虚数 当a 0 当b 0时 叫做纯虚数 思考 复数集 实数集 虚数集 纯虚数集之间的关系 3 复数相等 如果两个复数的实部相等
2、且虚部相等就说这两个复数相等 实数与虚数 虚数与虚数之间无法比较大小 4 共轭复数 当两个复数实部相等 虚部互为相反数时 这两个复数互为共轭复数 5 复平面 建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面 x轴叫做实轴 y轴除去原点的部分叫虚轴 除了原点外 虚轴上的点都表示纯虚数 重要结论 1 复数相等a bi c di a c b d a b c d R 2 复数是实数的条件 z a bi R b 0 a b R z R z z R z2 03 复数是纯虚数的条件 z a bi是纯虚数a 0且b 0 a b R z是纯虚数z2 0 4 共轭复数的概念和性质 z z z 2 2 z a bi a b
3、 R z 2a z 2bi 复数的代数形式运算法则 设z1 a bi z2 c di 则1 加减法 a bi c di a c b d i2 乘法 a bi c di ac db ad bc i3 除法 重要的计算结论 1 a bi a bi a2 b22 1 i 2 2i 3 4 in in 1 in 2 in 3 0 三角形式有关概念 1 复数的三角形式为 z r cos isin 其特征 r 0 余弦在先 正弦在后 分别为同一角的余弦和正弦 中间的连接用 号 2 复数的辐角和辐角主值是两个不同的概念 辐角主值范围0 argz 2 为 辐角是一个集合概念 一般的 一个复数的辐角等于argz
4、 2k k Z 代数形式化为三角形式的步骤 1 先根据公式r 求模 cos a r 2 结合复数所在的象限确定辐角 三角形式不是唯一 三角形式化代数形式只需要把角的函数值求出即可 三角形式的运算 1 乘法 2 除法 3 乘方 4 开方 注意 在运用三角形式进行运算时 要先观察复数是否符合它的几个特征 不是三角形式要先化为三角形式 复数运算的几何意义 1 复数的加 减的几何意义即为向量的合成与分解 平行四边形法则 三角形法则 2 复数的乘法 乘方与除法的几何意义为向量的旋转变换和伸缩变换 复数的几何表示 1 复平面内两点间的距离公式d z1 z2 2 z z0 r表示以z0为圆心 为r半径的圆的
5、方程 3 z z1 z z2 表示线段Z1Z2的垂直平分线方程 4 r z z0 R 以z0为圆心 大于或等于r且小于或等于R的闭圆环 复数集上的方程 1 掌握方程xn b b C 的求根公式的推导及公式的应用 2 会求实系数一元二次方程的根 3 会解含z z 的方程 解方程中两个注意事项 1 在复数集C中的一元二次方程的求根公式和韦达定理仍适用 但根的判别式仅在实数集上有效 2 实系数一元n次方程在复数集中一定有n个根 若是虚根则一定成对出现 数学思想和方法 复数主要体现等价转化 数形结合 分类讨论等基本数学思想 主要的方法有换元 消元 待定系数法 判别式等解题通法 能力要求主要是运算能力和语言转化能力
