1、1. 设有三维向量 , , , 问 k取何值时i. 可由 1, 2, 3线性表示, 且表达式唯一; ii. 可由 1, 2, 3线性表示, 但表达式不唯一;iii. 不能由 1, 2, 3线性表示.解. i. 时, 1, 2, 3线性无关, 四个三维向量一定线性相关, 所以可由 1, 2, 3线性表示, 由克莱姆法则知表达式唯一 ;ii. 当 k = 1 时. 系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩为 2. 所以所以可由 1, 2, 3线性表示, 但表示不惟一;iii. 当 时.系数矩阵的秩等于 2, 增广矩阵的秩为 3, 所以所以不能由 1, 2, 3线性表示.2. 设向量组 1, 2, 3线性相关,
2、 向量组 2, 3, 4线性无关, 问i. 1能否由 2, 3线性表出? 证明你的结论;ii. 4能否由 1, 2, 3线性表出? 证明你的结论解. i. 1不一定能由 2, 3线性表出. 反例: , , . 向量组 1, 2, 3线性相关, 但 1不能由 2, 3线性表出;ii. 4不一定能由 1, 2, 3线性表出. 反例: , , , . 1, 2, 3线性相关, 2, 3, 4线性无关, 4不能由1, 2, 3线性表出.3. 已知 m个向量 1, 2, m线性相关, 但其中任意 m1 个都线性无关, 证明:i. 如果存在等式k11 + k22 + + kmm = 0则这些系数 k1,
3、k2, km或者全为零, 或者全不为零;ii. 如果存在两个等式k11 + k22 + + kmm = 0l11 + l22 + + lmm = 0其中 l1 0, 则 .解. i. 假设 k11 + k22 + + kmm = 0, 如果某个 ki = 0. 则k11 + ki1 i1 + ki+1i+1 + kmm = 0因为任意 m1 个都线性无关, 所以 k1, k2, ki1 , ki+1, , km都等于 0, 即这些系数 k1, k2, km或者全为零, 或者全不为零;ii. 因为 l1 0, 所以 l1, l2, lm全不为零. 所以 .代入第一式得: 即 所以 , , 即 4
4、. 设向量组 1, 2, 3线性无关, 问常数 a, b, c满足什么条件 a1 2, b2 3, c3 1线性相关.解. 假设 得 因为 1, 2, 3线性无关, 得方程组 当行列式 时, 有非零解. 所以 时, a1 2, b2 3, c3 1线性相关.5. 设 A是 n阶矩阵, 若存在正整数 k, 使线性方程组 Akx = 0有解向量, 且 Ak1 0, 证明: 向量组, A, , Ak1 是线性无关的.解. 假设 . 二边乘以 得, 由 . 二边乘以 得, 最后可得 , 所以向量组, A, , Ak 1是线性无关.6. 求下列向量组的一个极大线性无关组, 并把其余向量用极大线性无关组线
5、性表示.i. .ii. 解. 解. i. 所以 是极大线性无关组. 由 得方程组解得 , 所以 ii. 所以 是极大线性无关组. 由 得方程组解得 , , 所以 由 得方程组解得 , , 所以 7. 已知三阶矩阵 , 讨论秩(A)的情形.解. i. , ii. , iii. , iv. , iv. 所以, 当 时, ; 当 时, 8. 设三阶矩阵 A满足 A2 = E(E为单位矩阵), 但 A E, 试证明:(秩( A E)1)(秩( A + E)1) = 0解. 由第十一题知又因为 A E, 所以 , 所以 , 中有一个为 1所以 (秩( A E)1)(秩( A + E)1) = 09. 设 A为 n阶方阵, 且 A2 = A, 证明: 若 A的秩为 r, 则 A E的秩为 n r, 其中 E是 n阶单位矩阵.解. 因为 A2 = A, 所以 所以 所以 又因为 所以 . 所以
