无穷级数 第四节函数展开成幂级数 第四节函数展开成幂级数 前面研究的是幂级数的收敛域及和函数 现在反过来 某个函数是否可以在某个区间内用幂级数表示 一 泰勒级数 第三章研究过泰勒公式 其中f x 在的某邻域内具有n 1阶导数 余项 此时 f x 可以用前n 1项近似表示 误差为 由此引入泰勒级数 1 定义 若f x 在的某邻域内具有各阶导数 则 f x 在的泰勒级数 泰勒系数 麦克劳林级数 2 泰勒定理 若f x 在的某邻域内具有各阶导数 由泰勒公式很容易得出结论 证明略 注 1 则f x 在的泰勒级数在该邻域内收敛于f x 若f x 在的泰勒级数收敛于f x 即 泰勒展开式 2 如果函数可以展开成幂级数 则展开式唯一 则称f x 在可以展开成泰勒级数 二 函数展开成幂级数 主要研究函数如何展开成x的幂级数 麦克劳林级数 1 直接展开法 1 求出 如果某阶导数不存在 说明不能展开 2 求出 3 求出收敛半径R 例将函数展开成x的幂级数 收敛半径 有限 趋于零 因为收敛 所以 循环 收敛半径 所以 牛顿二项式级数 注 1时 展式在x 1成立 0时 展式在x 1成立 2 间接展开法 利用已知的基本展开式和幂级数的性质 1 逐项积分 逐项求导法 2 变量替换法 3 四则运算法 例将函数展开成x的幂级数 作变量替换 例将分别展开成x的及x 1的幂级数 例将展开成x 1的幂级数 练习
