1、伍、研究過程及方法一、預備定理：（一）拋物線焦點對切線之對稱點必位於準線上【證明】設拋物線方程式為 ，焦點 ，準線 ，令 P ，cyx42cF,0cyca2,則切線方程式為 ，其法向量即為 ：2a),(a從所给的條件，可求得焦點對準線的對稱點 F1為：， cacacca ,2,0,2,0222此點正好位於準線 ，得證。y(二) 相似三角形定理由拋物線兩切線 、 ，與從焦點到切點 A 和 B 及到切線交點 S 的連線組成兩個 SA SB相似三角形 FSA 和 FSB，從而一個三角形中的位於切點上的角與另一個三角形中位於交點上的角相等。【證明】設拋物線有兩切線 、 ，以及焦點 F，則 F 對 作對
2、稱點 H； SA SB SA且 F 對 作對稱點 K；而 和 的交點為 P， 和 的交點為 R。 SB SA H SB K圖 1-1LOSBRAPFHK為準線且 、 HK AH HK BK HKAPF中PPF,90SAFH又 ，且 ，S FKSA而 S 為 的外心，在 的外接圓中， 是 所對的圓周角，HKHK為 的中垂線， 且 (圓周角為其弧所對圓 SB FFSB21S21心角的一半) 。得證 ，同理可證 。BAASFB（三）蘭伯特定理由相似三角形定理繼續推論：已知三切線 、 、 ，三切點 A、B 、O，切線兩兩相交於 P、R 、S ，以及焦點 SA SB PRF。則可知 且 ，FFPFS故
3、PFRS 為圓內接四邊形 F 必在 之外接圓上。R圖 1-2（四）互相垂直之兩切線，其交點位於準線上因為所有的拋物線都是相似形，不失一般性，所以可設拋物線方程式為， 準線方程式為 ，焦點為 。 4且2cyxcy),0(c若設兩切點為 ， ，則可得兩切線之方程式為 ：caA2,bB2, 1L， ： ， 與 之交點坐標為 ，2acyxL2ybx1L2 cabP,直線 AB 為： ，而abc)( 21cbap 點在準線上且焦點在直線 AB 上。（五）阿基米得三角形性質證明1. 平行軸 SM拋物線有兩切線 、 ，焦點 F，而 A、B 為拋物線之切點。 SA SB圖 1-4圖 1-3H、K 為 A、B
4、投影至準線 L 上兩點， 、 又為 中 、 SA SB FHK之中垂線；而 S 為 之外心。 之中垂線必過 S 且與軸平行。FFHK在直角梯形 AHKB 中 之中垂線必過 之中點 M。因為軸垂直 又 為 之中垂線，所以 平行軸，得證。 SM SM2. 交拋物線於 O，由 O 作切線交 、 於 A'、B'， 為 之中位 SM SA SB 'BAS線。、 亦為阿基米得三角形，故 A'為 的中點，B' 為A'B'的中點，所以 為 之中位線，得證。S3. 設切線 和 交於 O 點，則 平行 1L SM 1LAB，又其共用 ， ，2'
5、9;AB '且' ASSB'/ ，得證。'（六）焦點對任三切線之對稱點必共線(準線)利用(一 )拋物線 焦點對切線之對稱點必位於準線上之性質即可得出，就此圖 1-5圖 1-6圖 1-74321-1-2-3-6 -4 -2 2 4 6cy=r(x)y=q(x)y=h(x)F1 F2F3BCAF(u,v)題指考題，我們可作出以下的證明：以焦點 對三條切線 、 及 分別作對稱點 ：vu, 01yx01yx 321,F， ，,12,1 uvF vuF,21,3 vu， ，,21 vuF,23又三切線所圍成三角形三頂點 、 、 ，而 之外接圓0,1A,B1,0CABC為
6、，又 F 在 上， ，而12yx2yx2vu， 三點共線。01vuvu 321,F由蘭伯特定理知，焦點 F 必在三角形 ABC 的外接圓上，而焦點 F 對三切線之對稱點必共一準線，所以一個焦點就可以決定一條拋物線，但是焦點不是唯一的，因此此題的拋物線也不是唯一的。【討論】當焦點 F 為三角形 ABC 之頂點時，拋物線會退化成一直線。圖 1-8有了這些預備定理後，我們也展開探討唯一拋物線的研究里程！二、決定唯一拋物線之要素首先我們先從拋物線的定義焦點、準線出發：給予一條直線 L 和一個定點 F 。在 L 和 F 所決定的平面上，一切滿足之動點 P 的軌跡叫做拋物線。其中定直線 L 與定點 F 分
7、別稱作拋物dPF,線的準線和焦點。由定義可以知道：一個焦點和一條準線是決定唯一拋物線之基本條件，從此處我們延伸探討的範圍，譬如：拋物線上的點、拋物線的切線。由假設的兩種元素和焦點(不討論準線)搭配探討，我們漸漸的進入拋物線奇妙之處。從指考題出發，我們已經明白三條切線無法構成唯一的拋物線，那如果增加一條切線或者拋物線上的一個點呢？ （一）四切線我們根據蘭伯特定理，先設拋物線之三切線為 、 、 以及三切點1L23A，C，B 。而知 和 交點 P、 和 交點 S、 和 交點 Q，則可推得1L21L323及 ， 四邊形FSFQAFPSFPBPSQF 可作外接圓F 在 之外接圓上。 PQ最後我們再以四條
8、切線所作出的四個外接圓中任取兩個，則兩圓的交點，其一為兩三角形的共點，不為焦點，而另一交點就是焦點。焦點確定後則拋物線也跟著唯一確定，故四條切線可以決定唯一個拋物線。圖 2-14321-1-2-3-6 -4 -2 2 4 6cy=r(x)y=q(x)y=h(x)rx = -x-1qx = 0hx = x-1F1 F2F3BCAF(h,k)L3L2L4L1FPD ES Q BAC（二）三切線、拋物線上任一點設拋物線之三切線為 、 、 ，可得其三切線兩兩相交於0y1xxy、 、 。而已知拋物線之焦點 位於圓0,1A,B1,CkhF,上，恰好此圓過 A、B、C 三點：22fbyax， ，所以得到了圓
9、之方程式。01aff 12yx然後作焦點對三切線之對稱點，得到以下：圖 2-3圖 2-2 1,1,2,1,0321 hkkhnmx中yny則由上可知其三點所連成之準線 L 的斜率為 。k再以已知一點 代入拋物線之樸式，得yxP,，得證此為唯一之拋物線。2222 1khykhx探討完三切線加上任一元素後，我們縮短切線的數量，以二切線為主體，搭配其他元素，例如：二切線加二切點、二切線加一焦點。（三）二切線、二切點若 M 為 的中點，則由阿基米得三角形性質知 /對稱軸，過 上一點 PABSMAB作平行 之直線，設交拋物線於 H，若過 H 作切線交 、 於 、 ，則S 2/ ， / 。2P2【證明】如
10、圖 2-4，因為 為阿基米得三角形，設 為 的中點，則 /HA21KAH12KASM/ （K 為 上一點） ，則 ： = ： 。設 、2SM AB M2a圖 2-4， 。 中過 之中線平行 、對稱軸以及 ，bKMbaSA2H22ASMHP則可推出 ： = ： =1：1 =a ，1KPKbaP又 。同理 中過 之中線平行 和bBaB22S： = ： =1：1（ = ） ，所以 （ ）1BGHG1HGbGBB2， / ，同理 / 。SAbPA22P2S2SA又已知過 中點 M 分別作 、 的平行線交於 、 的點為 、 ，而B SA SB B1的連線即是拋物線的切線，且過 的中點（阿基米得三角形性質
11、）1A現在 上有一點 P，過 P 分別作 、 的平行線交於 、 的點為 、 ， AB SA SB SA2B而 也為拋物線的切線。2設過點 P 作 之平行線，交拋物線於 H，若 H 為 切於拋物線的切點，則 SM 2B平行 ， 平行 。換句話說，只要能證明 平行 ， 平行 ，則2A SB 2 SA PA SB 2 SA拋物線是唯一的。（四）二切線、一焦點F 分別對切線 、 作對稱點，A、B 為準線，由拋物線基本定義（一1L2 AB準線、一焦點）可決定唯一拋物線。圖 2-5654321-1-2-3-4-8 -6 -4 -2 2 4 6 8Arx = x2qx = -x+2hx = -3x-2gx
12、= -xfx = xCD EB經過了以上的討論，我們不難找出一點頭緒；再以縮短切線的數量為一條的時候，我們很快的想出可能會和一條切線搭配而形成唯一拋物線的元素。（五）一切線、一切點、一焦點焦點 F 對切線反射的點 F'落在準線上，得線段 垂直準線，可作出準線。'AF有焦點、準線，則可用包絡或逐點作法皆可。切線在以上的討論都用完了，那難道沒有切線就無法形成唯一的拋物線嗎？哈哈，那可不一定呢！別忘記我們還有另一個元素拋物線上的點可使用。我們現在就來證明看看，究竟除了切線外，拋物線上的點還可以用什麼方法來得出唯一的拋物線。（六）拋物線上五個點 (任三點不共線)若設拋物線為 ，則可任找
13、五點 。2xy4,2,1,0, EDCBA然後做任兩點之連線得： ： ， ： ， ： AB yx CD 023yx AC 0yx： ，再做 和 相乘： BD 02yx AB CD圖 2-6圖 2-7 0223023 yxyxyx以及 和 相乘： AC BD 022yx最後考慮圓錐曲線族得： ，22 kyxyx將 E 點帶入， ， ， ， ，得證。42k1042一般而言，若設拋物線上五點 P 、Q 、R 、S 、T ，1,ba2,3,ba4,5,ba則： 0:, 2121212112 yxxybaPQ:, 4343434334 baababRSRS0 421212 yxayxb又 0:, 313
14、1313113 bayaxbabPbaP:, 42424242244 xyQSQS0 4231313 ybaxb所以可設此拋物線方程式為+ 4242431313 3432212 baaxbyalk令 k 0，即， 0 4242431313 3432212 ybaxbt klt最後，將第五點 T 代入 中，可得 ，又 T 不在 和 上，5,b),(yx0qtp5,ba PR QS，故 有唯一解 。代入上式，可得唯一的拋物線，得證。0qtqp拋物線上五個點雖然可以決定唯一的拋物線，但事實上，四個點也有辦法形成唯一的唷！和切線一樣的取法，我們先扣除一個點，看看四個點所決定的拋物線會發生什麼情況！（七
15、）拋物線上四個點 拋物線上三個點、一切線、一切點設拋物線上四點 P 、 Q 、R 、S ，則：1,ba2,3,ba4, 0:, 2121212121 bayaxbxyaPQ:, 4343434334 abSbRS0 421212 yxayxb又 0:, 3131313113 bayaxbabPRbaP :, 42424242244 xyQSQS0 4231313 ybaxb所以可設此拋物線方程式為0 4242431313 3432212 bayaxbabyaxblk令 k 0，即， 4242431313 3432212 t klt化簡得拋物線方程式為 ,022dcybxa 4243134342
16、12 21 2314312 2413412 bababadtcb中令 、 、 。 圖形為拋物線，QtPaStRbVtUc02c0422PSR0442PRtQtV令 、 、 ，i2SjUk，0kjtik42【討論】BCAF1. 當 0，t 有兩解，所以拋物線至多有兩條：若已知其中一點 P 為切點及一條過點 P 的切線，則可作出唯一拋物線：已知拋物線方程式及切點 P，即可求出其切線方程式；又兩拋物線相異，則兩切線方程式相異，所以只有一拋物線吻合，故可得唯一拋物線。從上述可知，四個點有可能形成唯一的拋物線，那三個點可有辦法嗎？哎呀，恐怕不行囉！所以我們也只有搭配一個或兩個元素囉：（八）拋物線上三個點，焦點給定拋物線上三點 、 、 以及焦點 ，則設準線 L：1,baP2,Q3,baRtsF,，0cbyax，而 、 、 2333 222 2111, bacbtastbacbtasLRdFQP 1,baP2,Q三點必在準線 L： 的同側，所以 、3,ba0cyx cba1與 三式必同正負。因此，由上三式聯立可得出唯一解c2b3(a， b，c) ，則準線 L 唯一確定，故拋物線也跟著唯一確定。圖 2-7
