1、 2 一 重点与难点 重点 难点 1 复数运算和各种表示法 2 复变函数以及映射的概念 1 复数方程表示曲线以及不等式表示区域 2 映射的概念 3 二 内容提要 复数 复变函数 极限 连续性 代数运算 乘幂与方根 复数表示法 几何表示法 向量表示法 三角及指数表示法 复球面 复平面扩充 曲线与区域 判别定理 极限的计算 4 1 复数的概念 5 2 复数的代数运算 6 4 共轭复数 7 3 复数的其它表示法 8 2 向量表示法 复数的模 或绝对值 9 模的性质 三角不等式 复数的辐角 10 辐角的主值 11 3 三角表示法 12 4 复数的乘幂与方根 1 乘积与商 两个复数乘积的模等于它们的模的
2、乘积 两个复数乘积的辐角等于它们的辐角的和 则有 13 几何意义 14 两个复数的商的模等于它们的模的商 两个复数的商的辐角等于被除数与除数的辐角之差 则有 15 2 幂与根 a n次幂 16 b 棣莫佛公式 17 18 球面上的点 除去北极N外 与复平面内的点之间存在着一一对应的关系 我们可以用球面上的点来表示复数 我们规定 复数中有一个唯一的 无穷大 与复平面上的无穷远点相对应 记作 因而球面上的北极N就是复数无穷大的几何表示 球面上的每一个点都有唯一的复数与之对应 这样的球面称为复球面 复球面的定义 19 包括无穷远点在内的复平面称为扩充复平面 不包括无穷远点在内的复平面称为有限复平面
3、或简称复平面 对于复数 来说 实部 虚部 辐角等概念均无意义 它的模规定为正无穷大 2 扩充复平面的定义 20 6 曲线与区域 1 邻域 2 内点 21 如果G内每一点都是它的内点 那末G称为开集 4 区域 如果平面点集D满足以下两个条件 则称它为一个区域 a D是一个开集 b D是连通的 即D中任何两点都可以用完全属于D的一条折线连结起来 3 开集 22 5 边界点 边界 设D是复平面内的一个区域 如果点P不属于D 但在P的任意小的邻域内总有D中的点 这样的P点我们称为D的边界点 7 有界区域和无界区域 D的所有边界点组成D的边界 23 没有重点的曲线C称为简单曲线 或若尔当曲线 8 简单曲线 24 9 光滑曲线 由几段依次相接的光滑曲线所组成的曲线称为按段光滑曲线 任意一条简单闭曲线C将复平面唯一地分成三个互不相交的点集 简单闭曲线的性质 25 10 单连通域与多连通域 26 7 复变函数的概念 1 复变函数的定义 27 2 映射的定义 28 函数极限的定义 注意 8 复变函数的极限 29 极限计算的定理 30 与实变函数的极限运算法则类似 极限运算法则 31 1 连续的定义 9 复变函数的连续性 32 连续的充要条件 连续的性质 33 特殊的 在复平面内使分母不为零的点也是连续的
