1、几何综合(一)圆的综合问题 1阅读材料：如图(一)，ABC 的周长为 ，内切圆 O 的半径为 r，连结OA、OB、OC，ABC 被划分为三个小三角形，用 SABC 表示ABC 的面积.S ABC =SOAB +SOBC +SOCA又(可作为三角形内切圆半径公式)(1)理解与应用：利用公式计算边长分别为 5、12、13 的三角形内切圆半径；(2)类比与推理：若四边形 ABCD 存在内切圆(与各边都相切的圆，如图(二) 且面积为 S，各边长分别为 a，b，c，d，试推导四边形的内切圆半径公式；(3)拓展与延伸：若一个 n 边形(n 为不小于 3 的整数)存在内切圆，且面积为 S，各边长分别为 a1
2、，a 2，a 3，a n，合理猜想其内切圆半径公式 (不需说明理由)分析：本题中对于三角形内切圆的面积与边长的关系式是很值得注意和积累的.遇到三角形内切圆半径、面积、边长之间的运算的问题，即可回归到本题题目中的处理过程；在多边形的内切圆问题中，我们不妨依照前面的问题，利用面积法构造出过切点的半径，即可将面积表示出来.解：(1)5 2+122=132，三角形为直角三角形面积 ；(2)设四边形 ABCD 内切圆的圆心为 O，连结 OA，OB，OC，OD则；(3) .2.如图，ABCD 是边长为 2a 的正方形，AB 是半圆 O 的直径，CF 切O 于点E，交 AD 于 G，交 BA 延长线于 F.
3、(1)求 EF 的长；(2)求 EG 长.说明：在圆的相关问题中，除了与切线相关的证明经常考察外，也常考察一些与计算长度或角度有关的内容.分析：由切割线定理(或由相似形可证)，所求的 EF2=FA·FB(这样写的好处是与已知 2a 相关)，那么只须求出 FA 即可，而题目所给的 E 为切点的条件经常通过作半径造直角来使用，考虑连结 OE，构造 RtOEF ，由此找到与之相似 (或使用三角函数)，找到与有关线段和已知条件间的联系.解：(1)连结 OE，EF 切O 于 E，OEEF 于 E在 Rt EFO 与 RtBFC 中设 AF=x，则得(由切割线定理)易证AEF EBFEF 2=A
4、F·BF=x(x+2a)解得；(2)在 RtAFG 与 Rt OEF 中.积累：在很多几何问题中我们都会遇到一些与计算相关的内容，对于其中一些不太好根据具体数字来计算的内容，我们要有一种方程想法，可设置一些关键量为未知数，并借助它把其它量表示出来，再利用几何知识求解线段长度.3. 如图，以 RtABC 的直角边 AC 为直径作O，交斜边 AB 于点 D，E 是另一条直角边 BC 的中点.(1)求证：DE 是O 的切线；(2)若 AD=4， ，求 DE的长.分析：这是很常见的基本的圆的综合题型，第一问考察切线的证明，常规方法有二：1. 有切点，连半径，证垂直；2. 无切点，作垂直，证半
5、径，第二问由于题目中直角、等角较多，可以考虑用相似.(1)证：连结 OD，OA=ODODA=AAC 是O 直径ADC=BDC=90°又DE=BEBDE=BODA+BDE=A+B=90°ODE=90°DE 是O 切线；(2)易证 RtBCDRtBACBC 2=BD2+CD2.4. 如图，已知O与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于 C、D 两点，圆心 O的坐标是(1，-1)，半径是 .(1)比较线段 AB 与 CD 的大小； (2)求 A、B 、C、D 四点的坐标；(3)过点 D 作O的切线，求这条切线的解析式.分析：(1)圆心 O在 OO上，而 OO是O的对
6、称轴，猜想线段 AB 与 CD 大小相等；(2)已知圆心坐标与半径，上一问又涉及弦，我们不妨考虑构造垂径定理基本图，利用直角三角形计算；(3)我们必须求得切线上另一点坐标，才便于求出切线方程.解：(1)过 O作 OEAB 于 E，作 OFCD 于 F则 OE=1，OF=1AB=CD(同圆中，相等圆心距对应相等的弦) ；(2)连结 ODOD=OF+DF=3D(0，-3)同理：A(-1 ，0)，B(3，0) ，C(0，1)(3)设过 D 的切线与轴交于点 GODF+ODG=OGD+ DOG=90°ODF=OGD又OFD=ODG=90°DOF GDO，OG=6G(-6 ，0)设切
7、线 DG 解析式为 y=kx+bD(0，-3) ，G(-6 ，0)切线解析式为 .5. 在图中所示的直角坐标系中，点 O1 的坐标为(1 ，0)，O 1 与 x 轴交于原点O 和点 A，又点 B、C 的坐标分别为(-1，0)，(0，b)，且 0b3，直线 是过 B、C 的直线 .(1)当点 C 在线段 OC 上移动时，过点 O1 作 O1D直线 ，交 于 D.若 ，试求：a 与 b 的函数关系式及 a 的取值范围；(2)当 D 点是 O1 的切点时，求直线 的解析式 .分析：(1)如何建立 a 与 b 间的关系式？不妨借助题目中面积之比 转化为线段之比的平方，并在线段中用 b 来表示；(2)画
8、出示意图后，由切点可知图中有直角产生，可利用相似形求得相应线段的长度，进而求得 D 点坐标，再由 B、D 两点，求出切线解析式.解：(1)CBO=O 1BDRt BOCRtBDO 1又BC 2=BO2+CO2=1+b2，BO 1=20b3，0b 29， ，；(2)BD切O 1 于 D，切线为 ，作 DEBO 1 于 E则 Rt DEO1RtBDO 1，即 ，在 Rt O1DE 中设直线 解析式为 y=kx+b则 ，解得 解析式 .6. 抛物线 y=ax2+bx+c(a0)的顶点为 P，与 x 轴的两个交点为 M，N(点 M 在点N 左侧) ，PMN 的三个内角P、M、N 所对的三边长为 p，m
9、，n，若关于 x 的的一元二次方程(p-m)x2+2nx+(p+m)=0 有两个相等的实根，(1)试判定PMN 的形状；(2)当顶点 P 的坐标为(2，-1) 时，求抛物线解析式；(3)平行于 x 轴的直线与抛物线交于 A、B 两点，以AB 为直径的圆恰好与 x 轴相切，求该圆的圆心坐标.分析：(1)从方程有两个相等实根入手列=0 可以找到 p，m，n 的关系式；(2)由顶点坐标结合 p，m，n 的关系得出PMN 的形状，可求出抛物线中其它系数；(3)以 AB 为直径的圆恰好与 x 轴相切，意味着直线到 x 轴距离等于半径长，即长.解：(1)一元二次方程(p-m)x 2+2nx+(p+m)=0
10、 有两个相等实根=(2n) 2-4(p-m)(p+m)=0p 2=m2+n2由二次函数对称性可知，这个三角形是等腰直角三角形；(2)示意图设抛物线解析式为y=a(x-2) 2-1=ax2-4ax+4a-1PMN 为等腰直角三角形 PM=PN，即 ，16a 2-16a2+4a=4a2a 1=0(舍)，a 2=1经检验，a=1 满足方程抛物线解析式：y=x 2-4x+3；(3)设直线 AB 为 y=k则 必有两不等实根x 2-4x+3=k，x 2-4x+3-k=0又以 AB 为直径的圆恰与 x 轴相切，圆心坐标 .7. 如图、，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 的坐标为(4 ，0)，以点 A
11、为圆心，4 为半径的圆与 x 轴交于 O，B 两点，OC 为弦，AOC=60°，P 是 x 轴上的一动点，连结 CP(1)求OAC 的度数；(2)如图，当 CP 与A 相切时，求 PO 的长；(3)如图，当点 P 在直径 OB 上时，CP 的延长线与A 相交于点 Q，问 PO 为何值时，OCQ 是等腰三角形？分析：(1)由特殊三角形较容易实现长度与角度间的联系，算得OAC；(2)有切线便出现 RtACP，则相等的角、线段会较多；(3)OCQ 为等腰三角形，往往意味着有三种情况：OC=OQ，OC=CQ，OQ=CQ，去除掉其中不可能的情况，便于讨论.还要注意 CP 延长线交 A 于点 Q
12、，若点 Q 不在 CP 延长线上是不满足要求的，最后，由题目(1)(2)问中得到不少特殊角，把它放在特殊三角形中( 直角三角形等)才易参与运算.解：(1)AOC=60°，AO=ACAOC 是等边三角形，OAC=60°；(2)CP 与A 相切，ACP=90°APC=90°-OAC=30°又A(4，0) ，AC=AO=4，PA=2AC=8PO=PA-OA=8-4=4；(3)过点 C 作 CP1 OB，垂足为 P1，延长 CP1 交A 于 Q1，OA 是半径， ，OC=OQ 1，OCQ 1 是等腰三角形又AOC 是等边三角形， ；解法一：过 A 作
13、ADOC，垂足为 D，延长 DA 交A 于 Q2，CQ 2 与 x 轴交于P2，A 是圆心，DQ 2 是 OC 的垂直平分线CQ 2=OQ2，OCQ 2 是等腰三角形过点 Q2 作 Q2E x 轴于 E在 RtAQ 2E 中，点 Q2 的坐标在 RtCOP 1 中，P 1O=2，AOC=60° ，设直线 CQ2 的关系式为：y=kx+b ，则有当 y=0 时， ；解法二：过 A 作 ADOC，垂足为 D，延长 DA 交 A 于 Q2，CQ 2 与 x 轴交于 P2，A 是圆心，DQ 2 是 OC 的垂直平分线，CQ 2=OQ2OCQ 2 是等腰三角形OAC=60° ，DQ 2 平分OQ 2C，AC=AQ 2，ACQ 2=AQ 2C=15°AOC 是等边三角形，CP 1OA，P 1CP2=P 1CA+ACQ 2=30°+15°=45°CP 1P2 是等腰直角三角形，.
