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发射物体在引力作用下初速度和轨道离心率的关系.doc
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1、发射物体在引力作用下初速度和轨道离心率的关系假设从近地面以初速度 v0发射一质量 m 的物体,发射后物体只受地球引力影响有开普勒第一定律,运行轨道为椭圆,地球质心是其一个焦点设该椭圆半长轴为 a,半短轴为 b,焦距为 c,离心率 e设地球质量 M,半径 R,则 R=a-c,e=c/a设椭圆面积 S,运行周期为 T,则 S=ab设从发射后到 t 时刻,物体和地球质心连线在椭圆上已扫过面积为 s,则根据开普勒第二定律,ds/dt=S/T取一个微小时间 dt,设物体相对于地球质心旋转角 d,角速度 此时视为 r 不变,则 dr=0ds/dt=d(r2/2)/dt=r2*d/2dt=r2/2=vr/2
2、故 v0R/2=S/T=ab/T构造一近地面圆轨道半径为 R,一质量为 m 的物体在轨道上做匀速圆周运动且角速度 ,万有引力常量为 G,周期为 T0,则GMm/R2=m2R=(GM/R3)1/2T0=2/=2R(R/GM)1/2根据开普勒第三定律,有 T2/a3=T02/R3T2=42a3/GMT=2a(a/GM)1/2则 v0R/2=ab(GM/a)1/2/2a=b(GM/a)1/2/2在地表附近有 GMm/R2=mgGM=gR2,故 v0R/2=bR(g/a)1/2/2,v 0=b(g/a)1/2v0=b(g/a)1/2=(gb2/a)1/2=g(a2-c2)/a1/2=g(a-c)(a+c)/a1/2=gR(1+c/a)1/2=(1+e)gR1/2故有 v0=(1+e)gR1/2e=v02/gR-1特别的,e=0 时,椭圆化为圆,得第一宇宙速度 v1=(gR)1/2e=1 时,椭圆化为抛物线,物体不再返回,得第二宇宙速度 v2=(2gR)1/2发射物体在引力作用下初速度和轨道离心率的关系
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