1、立体几何第二讲 简单几何体 学习内容 本章内容是简单几何体中常见的棱柱 棱锥和球的概念性质及面积 体积的计算 它是建立在第一章线面关系和两个体积公理的基础上研究上述几何体的性质及体积公式的 学习要求 熟练掌握上述几何体的性质并能灵活运用这些性质和第一章的有关知识 判定这些几何体中的线面关系 进一步巩固和加深对线面关系的理解 提高空间想象 逻辑思维和计算能力 学习指导 本章在学习中要灵活运用转化的思想 函数与方程的思想 转化思想 把空间问题转化为平面问题 运用切割与组合的思想 把一个复杂的几何体转化为几个简单的几何体 运用等积法化难为易 函数与方程思想 把面积体积公式看成函数表达式 运用函数性质
2、去研究问题 把体积面积公式看作列方程和方程组的等量关系来解决问题 棱柱 注 四棱柱 平行六面体 直平行六体 长方体 正四棱柱 正方体 棱锥 注 解题中应灵活运用三棱锥 可以任意换底 的特殊性 处理问题 多面体 欧拉公式 球 二典型例题解析与规律方法技巧总结 例 设有三个命题 甲 底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体 乙 底面是矩形的平行六面体是长方体 丙 直四棱柱是直平行六面体 以上命题中真命题的个数是 A 0 B 1 C 2 D 3此题为 年全国高考题 答案为B 例2 如图 圆锥形容器高为h底面平行于水平面 锥顶朝上放置 内部装有水面高度为h 3的水 现将圆锥倒置 使锥顶朝正下方向 此时容器
3、内的水面高度为 答案为 答案 解析 AP在点P运动的过程中总保持与BC1垂直 说明BD1可能垂直于点A所在的平面 由此联想到与正方体体对角线垂直的平面ACB1 即点P在B1C上运动时满足题意 故选A 分析 可将该多面体如图1分割成两个四棱锥求体积之和 还可将其如图2所示分成两个三棱柱求体积之和 答案 4 分析 1 问的关键是在平面内找到与平行的线 由已知D是中点想到利用中位线来找平行线 连接则DE即可 放在三角形中解得的结果是 练习1已知平面及以下三个几何体 长宽高皆不相等的长方体 底面为平行四边形但不是矩形和菱形四棱柱 正四面体这三个几何体在平面上的射影可以是正方形的几何体是 三 巩固与练习
4、 答案为 1 2 3 分析 此题需将四棱锥的体积转化为柱体体积与两个三棱锥体积之差求解 答案 2 3 练3 已知长方体的全面积为 十二条棱长度之和为 则这个长方体的一条对角线长为 解题关键 整体性思维答案 练5 在一个倒置的正三棱锥容器内 放入一个钢球 钢球恰与此三棱锥的四个面都接触 按这三棱锥的一条侧棱和高做截面 正确的截面图形是 答案D 1 问体现了三棱锥体积求法的灵活性解法较多 结果为4 2 问二面角正切值 求不规则多面体体积的基本思想是将其转化成我们熟悉的柱体或锥体求解 转化的手段或割或补 此题割补均可获解 法1 如图将多面体体积转化为大三棱锥与两个小三棱锥体积之差求解 法2 如图可将多面体分成两个等体积的四棱锥而后求解较法1更为简捷 法3 如图 由对称性还可以将该多面体补形为长方体 且该长方体体积为多面体体积的两陪 较法2更简单 答案 答案 1问2问3问
