1、1 三 小结及作业 2 第九节常系数线性非齐次微分方程 方程 为常数 叫做二阶常系数线性非齐次微分方程 根据解的结构定理 其通解为 求特解的方法 根据f x 的特殊形式 给出特解 的待定形式 代入原方程比较两端表达式以确定待定系数 3 一 为常数 型 为实数 设特解形式为 其中为待定多项式 将 代入原方程 得 1 若 则取Q x 为m次待定系数多项式 从而得到特解 形式为 为m次多项式 不是特征方程的根 即 4 为常数 4 设特解为 2 若 但 则 是一个待定系数的m次多项式 这时特解形式为 3 若 且 则 是一个待定系数的m次多项式 这时特解形式为 小结 对方程 4 当 此结论可推广到高阶常
2、系数线性微分方程 是特征方程的单根 即 是特征方程的重根 即 是特征方程的k重根时 可设特解为 5 例1求方程 的一个特解 解本题 而特征方程为 不是特征方程的根 设所求特解为 代入方程 比较系数 得 于是所求特解为 6 例2求方程 的通解 解本题 特征方程为 其根为 对应齐次方程的通解为 设非齐次方程特解为 比较系数 得 因此特解为 代入方程得 所求通解为 7 特征方程为 其根为 方程特解为 代入方程得 比较系数 得 8 例4求解定解问题 解本题 而特征方程为 其根为 设非齐次方程特解为 代入方程得 故 故对应齐次方程通解为 原方程通解为 9 于是所求解为 原方程通解为 解得 由初始条件得
3、10 11 解设的特解为 的特解为 则所求特解为 重根 例7写出微分方程 的待定特解的形式 12 其中 为特征方程的k重根 k 0 1 上述结论也可推广到高阶方程的情形 13 例8求方程 的一个特解 解本题 特征方程 所以可设原方程 由于不是特征方程的根 代入方程得 特解为 比较系数 得 于是求得一个特解 14 例9求方程 的通解 解 特征方程为 其根为 对应齐次方程的通解为 比较系数 得 因此特解为 代入方程得 所求通解为 由于为特征方程的单根 因此设非齐次方程特解为 15 例10设出下列高阶常系数线性非齐次方程的特解形式 解 1 特征方程 即 有二重根 所以设非齐次方程特解为 2 特征方程 即 有根 利用叠加原理 可设非齐次方程特解为 16 思考与练习 1 求方程 的通解 提示 对应齐次方程通解 1 当 时 设特解 2 当 时 设特解 答案 原方程的通解为 17 2 填空 设 1 当时可设特解为 2 当 时可设特解为 提示 18 三 小结 1 为特征方程的 重根 则设特解为 2 为特征方程的 重根 则设特解为 19 作业12 9 P3171 1 5 6 8 10 2 2 4 6 20 练习题 21 22 练习题答案 23
