1、辅导课程九 复变函数论 主讲教师 李伟勋 第四章幂级数 数学分析中的级数理论很容易推广到复函数上来 并得到某些系统的结论 不仅如此 级数可作为研究解析函数的一个重要工具 将解析函数表示为幂级数 是泰勒定理由实情形的推广 是研究解析函数的另一重要方法 注意前一章是用复积分方法研究 第一节复级数的基本性质 复数项级数定义4 1对于复数项的无穷级数命 部分和 若则称复数项级数收敛于否则称级数发散 定理4 1设 则复数级 4 1 收敛于的充要条件为 实级数及分别收敛于及 例4 1考察级数的敛散性 解因发散 故虽收敛 我们仍断定原级数发散 定义4 2若级数收敛 则原级数称为绝对收敛 非绝对收敛的收敛级数
2、 称为条件收敛 一个绝对收敛的复级数的各项可以任意重排次序 而不致改变其绝对收敛性 亦不致改变其和 2 两个绝对收敛的复级数可按对角线方法得出乘积级数 2 一致收敛的复函数项级数 定义4 3设复变函数项级数 4 2 在点集上存在一个函数 对于上的每一个点 级数 4 2 均收敛于 则称为级数 4 2 的和函数 记为 定义4 4对于级数 4 2 如果对任意给定的 存在正整数当时 对一切的均有则称级数 4 2 在上一致收敛于 定理4 5 优级数准则 若存在正数列 使对一切 有而且正项级数收敛 则复函数项级数在集上绝对收敛且一致收敛 级数在闭圆上一致收敛 因有收敛的优级数 下述两个定理也和数学分析中相应的定理平行 定理4 6设级数的各项在点集上连续 且一致收敛于 则和函数也连续 定理4 7设级数的各项在曲线上连续 并且在上一致收敛于 则沿可以逐项积分 定义4 5设函数定义于区域内 若级数 4 2 在内任一有界闭集上一致收敛 则称此级数在内内闭一致收敛 3 解析函数项级数 函数项级数能逐项求导的条件时苛刻的 然而解析函数项级数求导的条件却比较宽些 这就是下面的维尔斯特拉斯定理 定理4 9设 1 在区域内解析 2 在内内闭一致收敛于函数则 1 在区域内解析 2 证 1 设若为 内任一围线 则由柯西积分定理得由定理4 7得于是 由摩勒拉定理知在内解析 即在解析 由于的任意性 故在区域内解析
