平方根数列递推公式推导通项公式可以用以下关于数列a n的递推公式来计算平方根 （a 0）的近似值aan = (an 1 + )（a 0，nN +）12 aan 1数列a n的初值为 a0，这里 a0 可以为任意接近于 的有理数。可以证明，对于任意的正数aa，当 n 时，数列a n收敛，极限为 ，因此 a0 也可以取为任意正数。a下面根据数列a n的递推公式和初值 a0 导出a n的通项公式 an，推导过程如下an = (an 1 + ) = a12 aan 1 aan + = (an 1 + ) + = a12 aan 1 a以上两式作比值可得= ( )2为了方便计算，记 bn = ，则 an = ，可得 bn = （nN +） ，于是1 + bn1 bn a b 2n 1bn = = ( )2 = ( )2)2 = = （nN +）b2 n 1 b 2 n 2 b 2 n 3 b根据数列a n的递推公式和 an 与 bn 之间的关系，可以得到a1 = (a0 + ) = ，b 1 = = ( )212 aa0于是bn = = = （nN +）b 因此an = = （nN +）1 + bn1 bn a a因为 a 0，a 0 0，容易证明不等式 1 0，nN +）a
