1、3广义函数大意 定义1 基本空间 设是上无限次可微且在某有限区间以外为0的函数全体 按照通常的加法和数乘 它成为线性空间 在其中定义极限概念如下 设若 1 存在一个与n无关的公共有限区间 使在外为0 n 1 2 2 在对每一非负整数q 函数列一致收敛于 则称在中收敛于 记为 称为基本空间 空间的这种收敛性不能容纳在距离空间的收敛性之中 即我们无法定义一个距离d使等价于 定义2 广义函数 上的连续线性泛函称为广义函数 记为 或 或简记为 例1局部可积函数是广义函数 我们把在任何区间上都L可积的函数称为局部可积函数 其全体记为 设则可用定义一个上的连续线性泛函 对任何 对应 由于 在某有限区间外为
2、0 故上述积分有意义 它显然是上连续线性泛函 我们还可以证明 对 对应广义函数是一对一地 即如果且对一切成立 则a e 于R 这样 局部可积函数就可以一对一地嵌入上连续线性泛函空间 作为它的一部分 即是广义函数 例2现在我们可以给本节开始时引进的一个严格的数学定义 如果上的连续线性泛函由下式给定 对一切 对应数值 称这一泛函为 换句话说 对一切 有 这一定义正是的严格化 为上连续线性泛函是不难验证的 当时 这意味着在任何有限区间上各阶导数 包括零阶导数 一致收敛 当然更有 即 这样一来 我们确实得到了一个新的概念 它包括通常的局部L可积函数在内 又包含超出通常函数概念的在内 最后 让我们介绍广义函数的导数 按照分部积分法 对通常的一阶连续可导函数 在外为0 所以 则有 于是受此启发可定义广义函数的导数为下述的广义函数 由于是无限次可微的 有意义 而且意味着各阶导数都一致收敛于的相应导数 自然也有 所以由是连续线性泛函知也是连续线性泛函 同样可定义二阶以至任意阶的导数 这样一来 基本空间中函数的优良性质就能够转移到广义函数上了 例3设在x 0时为0 在x 0时恒为1 这时 作为广义函数有导数 这是因为同样可验证 假若我们定义为对一切成立 那么微分运算和极限运算的交换就是显然的 广义函数的优越性由此可见一斑
